Документ: Kratn_2, страницы 61-65 | База учебных материалов

Теорема 4.3 [1] (теорема Стокса). Пусть Ω – ограниченная область в R3, внутри которой лежит гладкая ориентированная поверхность Σ+ с кусочно-гладким краем l+ и направление на l+ согласовано с

~

ориентацией Σ+. Пусть также функция f(P ) непрерывно дифференцируема в Ω. Тогда

IZZ

~ ~	~
(f, dl) =	(rot f, d~σ).
l+	Σ+

Теорема Стокса означает, что циркуляция дифференцируемого век-

~

торного поля f по произвольной кусочно-гладкой замкнутой кривой l+ рав-

~

на потоку вектора rot f через поверхность Σ+, ограниченную этой кривой l+.

Отметим, что теорема Грина [1] является частным случаем теоремы Стокса и соответствует тому случаю, когда Σ является частью плоскости


0xy, ~n+ = ~k и f~ = fx~i + fy~j. При этом rot f~ =	∂xy	−		∂yx	~k.
	∂f		∂f
		~		~	~ ~

Пример 4.12. Вычислить циркуляцию вектора f = zi + xj + yk, по

окружности x2 +y2 +z2 = R2, x+y +z = R, в положительном направлении

(обход против часовой стрелки).
~	~	~	~	~	~	~	~
Так как f	= zi	+ xj	+ yk, то rot f		= i	+ j	+ k. За поверхность Σ,

ограниченную данной окружностью, примем сам круг, образованный сечением шара x2 + y2 + z2 = Rz плоскостью x + y + z = R. Центр этого

r

круга 00

R

;

R

;

R

, его радиус R1

= R

2

. Единичный вектор нормали

3

1

3

√

~

~n = √

(i + j + k ). Так как (rot f, ~n) = √

=

3, то находим

3

2πR2

I (f~, dl~) =ZZ (rot f~, d~σ) =ZZ (rot f~, ~n )dσ = √3ZZ

dσ = √3πR12 =

√

.

3

l+

Σ+

~

Пример 4.13. Найти циркуляцию вектора2f =2yi−22zj +2xk вдоль эл-

липса, образованного сечением гиперболоида 2x −y +z

= R

плоскостью

y = x, в положительном направлении.

~

Так как f = yi

− 2zj + xk, то rot f = 2i

− j − k. За поверхность Σ,

ограниченную кривой l, примем часть секущей плоскости, лежащей внутри эллипса. Единичный вектор нормали, направленный в нужную сторону,

1		~	~	3
имеет вид ~n = √		(i	− j ). Поэтому (rot~a, ~n ) = √			. Значит,
	2				2			dσ =
I (f~, dl~) =		ZZ (rot f~, d~σ ) =		ZZ (rot f~, ~n )dσ = √2			ZZ
						3
l+		Σ+		Σ+			Σ+

60

3				√		2

= √		πR			2R = 3πR		,
	2
так как эллипс имеет полуоси R√				и R и его площадь, как известно, равна
			2
произведению полуосей на число π.
Упражнения. Используя формулу Стокса решить задачи:
					~ 2~ 2~ 2~

4.33. Найти циркуляцию вектора f = z i+x j +y k по сечению сферы

x2 + y2 + z2 = R2 плоскостью x + y + z = R в положительном направлении.

~	3~	3~	3~
4.34. Найти циркуляцию вектора f = z	i	+ x j + y	k по сечению ги-

перболоида 2x2 − y2 + z2 = R2 плоскостью x + y = 0 в положительном

направлении.	2~			2		2 ~
~	2~	~		2	+ y	2 ~
4.35. Найти циркуляцию вектора f = y	i + xyj + (x				+ y	)k по кривой,
вырезаемой в первом октанте из параболоида x2 + y2			= Rz плоскостями
x = 0, y = 0, z = R, в положительном направлении.
~		~			~	~	~

4.36. Найти поток вихря поля (rot f) вектора f = yi + zj + xk через

часть поверхности z = 2(1 − x2 − y2), лежащей над плоскостью 0xy, в

направлении внешней нормали.
~	~	~	~
4.37. Найти циркуляцию вектора f = (y + z)i		+ (z + x)j + (x + y)k

вдоль эллипса l = {x = a sin2 t; y = 2a sin t cos t; z = a cos2 t, 0 ≤ t ≤ π},

пробегаемого в направлении возрастания t.
~	~	~	~

4.38. Найти циркуляцию вектора f = (y+z)i+(x+z)j+(x+y)k вдоль

окружности, являющейся сечением сферы x2 + y2 + z2 = R2 плоскостью

x + y + z = 0, в положительном направлении.						R3
	4	πR3.		3	πR4. 4.35.
Ответы: 4.33.			4.34.				. 4.36. −π. 4.37. 0.
	3			2		3

4.38.0.

5.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

5.1. Оператор Гамильтона и его применение

Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора r, определяемого равенством

~	∂	~	∂	~	∂
r = i	∂x	+ j	∂y	+ k∂z .

Применяя известные операции умножения вектора на скаляр, скалярного и векторного произведений двух векторов, находим:

		~	∂ϕ	~	∂ϕ	~	∂ϕ	= rϕ;
grad ϕ = i			∂x	+ j	∂y	+ k	∂z	= rϕ;
∂ϕ		= (~e, rϕ) = (~e, r)ϕ;

	∂~e

61

~

∂fx

∂fy

∂fz

~

div f =

+

= (r, f );

rot f~ = ∂yz

∂x

∂y

∂z

∂yx ~k =

− ∂zy ~i +

∂zx

− ∂xz

~j +

∂xy −

∂f

~i

~j

~k

= det

∂

= r × f~ = [r, f~].

∂x

∂y

∂z

fx

fy

fz

направлению от скалярной функции

∂ϕ

По аналогии с производной

по

вводится понятие производной по направлению единичного вектора ~e

∂~e

~

от векторной функции f(x, y, z):

~

∂f

~

∂~e

= (~e, r)f

= i(~e, grad fx) + j(~e, grad fy) + k(~e, grad fz) =

∂fx ~

∂fy ~

∂fz ~

=

i +

j +

k.

∂~e

С помощью оператора Гамильтона удобно выполнять дифференциаль-

ные операции векторного анализа над сложными выражениями.

Пример 5.1. Найти градиент произведения двух скалярных функций.

Имеем:

grad(ϕg) = r(ϕg) = r(ϕ g) + r(ϕ g)

( указывает функцию, на которую “действует” оператор). Но

r(ϕ g) = grϕ = g grad u,

r(ϕ g) = ϕrg = ϕ grad g.

Таким образом, grad(ϕg) = g grad ϕ + ϕ grad g.

~

Пример 5.2. Найти rot[f,~c ], где ~c – постоянный вектор.

По известной формуле векторной алгебры h~a, [~b,~c ]i = (~a,~c )~b −(~a,~b )~c,

~0, имеем rot[f~,~c ]

hr, [f~,~c ]i

учитывая соотношение r, [f~,~c ]

=

"#


= r, [f~,~c ]	+ r, [f~,~c ] = (r,~c ) f~ ) − (r, f~ )~c. Но (r,~c ) f~ = (~c, r) f~.
~	~	~	~	~
Далее, (r, f)~c = ~c(r, f) = ~c div f. Таким образом, rot[f,~c ] = (~c, r)f−
~
−~c div f.
Можно образовать 5 дифференциальных операций второго порядка:
1) div grad ϕ = (r, r)ϕ = r2ϕ =		ϕ (лапласиан функции ϕ);

62

2)

rot

~

r r ~; 3)

~

r r

~

; 4)

r [r

~

] ;

grad ϕ = [ , ]ϕ grad div f =

(

, f )

div rot f = ,

, f

5)

rot rot f =

r, [r, f ] .

r

2

того, операцию

2 ~

Кроме

h

i

т. е. рассматривать операцию r f. Вторая и четвертая операции приводят к нулевому вектору и нулю соответственно:

r r ≡ ~ ~ r r~ ≡ rot grad ϕ = [ , ]ϕ 0, div rot f = , [ f ] 0.

Это следует из векторного смысла оператора r: в первом случае формально имеем векторное произведение двух коллинеарных векторов, а во втором

– смешанное произведение компланарных векторов. Упражнения. Доказать справедливость следующих формул:

	~	~	~		~	~	~
5.1. div(ϕf ) = ϕ div f + f grad ϕ.					5.2. div[f, ~g ] = ~g rot f		− f rot ~g.
~	~		~		~	~	~
5.3. rot(ϕf ) = ϕ rot f + [grad ϕ, f ].				5.4. grad([f, ~g ]) = (f, r)~g + (~g, r)f+
~	~		~	~	~	~	~
+[f, rot ~g ] + [~g, rot f ].		5.5. rot[f, ~g ] = (f, r)~g + (~g, r)f + f div ~g −~g div f.
	~	~	~
5.6. rot rot f = grad div f −			f.

5.2. Потенциальное поле

В физике принято называть функции, заданные в R3, термином “поле”. Будем также использовать эту терминологию: если рассматривается функция f : R3 → R, будем говорить о скалярном поле, если функция

~	R	3	→ R	3	– о векторном поле.
f :	R		→ R		– о векторном поле.
					~	~	~	~
	Определение 5.1 [1]. Векторное поле f					= fxi	+ fyj	+ fzk называ-

ется потенциальным (в области Ω), если существует такая непрерывно дифференцируемая на Ω скалярная функция ϕ: R3 → R, что в каждой точке Ω выполнено равенство

~	(5.1)
f = grad ϕ.

~

Скалярное поле ϕ называется при этом потенциалом поля f.

~

Теорема 5.1 [1]. Если поле f потенциально в области Ω и потенциал ϕ является дважды непрерывно дифференцируемой в Ω функцией,

то
~	~	(5.2)
rot f = 0.		(5.2)

Теорема 5.1 означает, что равенство (5.2) является необходимым условием потенциальности гладкого поля. Это же условие оказывается и до-

~

статочным для того, чтобы непрерывно дифференцируемое поле f имело потенциал.

63

~

Теорема 5.2 [1]. Если векторное поле f непрерывно дифференциру-

~

емо в односвязной области Ω и выполнено условие (5.2), то f является потенциальным полем, т. е. существует потенциал ϕ, удовлетворяющий равенству (5.1). Если P0 – некоторая фиксированная точка области Ω, потенциал ϕ определяется единственным образом и может быть вычислен по формуле

P
ϕ(P ) = ϕ(P0) + Z (f~, dl~).		(5.3)
P0
~
В физических задачах чаще всего вектор f является силой, при этом
говорят о силовом поле. В этом случае интеграл	Z	(f~, dl~) называется

l+(P1,P2)

~

работой A силового поля f вдоль пути l+(P1, P2) с началом в точке P1 и концом в точке P2. Для потенциального поля работа поля зависит от точек P1 и P2 и не зависит от пути, соединяющего эти точки, т. е. в этом случае A = A(P1, P2). Из равенства (5.3) следует, что для потенциального поля A(P, P0) = ϕ(P ) − ϕ(P0) и, значит (из-за аддитивности криволинейного интеграла), A(P1, P2) = ϕ(P2) − ϕ(P1) для любых точек P1 и P2, лежащих в области Ω. Это известный физический закон: работа поля равна разности

потенциалов конечной и начальной точек.

2

2~

~

−

~

Пример 5.3. Найти потенциал поля f = 2xyi + (x

2yz)j

− y k.

Убедимся сначала, что поле потенциально:

∂fz

∂fy

= −2y,

∂fx

∂fz

∂fy

∂fx

=

= 0,

=

= 2x.

∂y

∂z

∂x

∂y

~

Следовательно, rot f

≡ 0. За путь интегрирования примем ломаную 0ABP ,

где 0(0, 0, 0), A(X, 0, 0), B(X, Y, 0), P (X, Y, Z). Находим:

Z

A

B

P

ϕ(X, Y, Z) =

(f~, dl~) + c = Z (f~, dl~) + Z (f~, dl~) + Z (f~, dl~) + C,

0ABP

0

A

B

~

2

(f, dl ) = 2xy dx + (x

− 2yz)dy − y

dz.

A

Так как на 0A имеем y = z = 0, dy = dz = 0, следовательно, Z0

(f~, dl~) = 0.

Аналогично на AB имеем x = X, dx = 0, z = 0, dz = 0, поэтому

BY

ZZ

~ ~	2	2	Y.
(f, dl ) = X		dy = X	Y.
A	0

64

Материал: Kratn_2

Смотрите также: