Материал: Kratn_2

~ ~

Y

2

dz = −Y

2

Z.

(f, dl ) = −

B

0

~

2

y − y

3 ~

3

3

~

5.7. f = (3x

)i + (x

− 3xy )j.

~

~

~

sin(2x) cos(2y)i + cos(2x) sin(2y)j

5.8. f =

.

~

pcos ~

sin

2 y

+

x2

2

~

2 ~

2 x

sin2 x cos2 y

5.9. f = (yz − xy)i + xz −

+ yz j + (xy + y z)k.

2

5.10. f~ =

z

− x2

~i + x

− y2

~j +

y − z2

~k.

1

y

1

z

1

x

5.11. f~ =

y2

−z2 −

2x3

~i+ x2

−z2

−2y3

~j+ x2 + y2

+

2z3

~k.

z

y

yz

z

x

xz

y

x

xy

~

m

5.12. Найти потенциал гравитационного поля f

= −

r

3

~r, создавае-

мого массой m, помещенной в начале координат.

k k

Ответы:

5.7. ϕ(x, y) = x3y − xy3 + c.

5.8.

(

) = 2p

cos

x2y

y2z2

.

ϕ

x, y

2 x sin2 y + sin2 x cos2 y + c

5.9. ϕ(x, y, z) = xyz −

+

+ c.

2

2

5.10. ϕ(x, y, z) =

y

+

z

+

x

+ c.

z

x

y

xy

yz

xz

5.11. ϕ(x, y, z) =

+

−

+ c.

x2

y2

z2

~

~

~

ле ~v = vxi + vyj + vzk называется соленоидальным в области Ω, если

div ~v = 0

(5.4)

Определение 5.3 [1]. Если для поля ~v

существует такая непре-

~

рывно дифференцируемая функция A, что

~

(5.5)

rot A = ~v

rot f~ =

∂yz

−

∂zy ~i +

∂zx

−

∂xz

~j +

∂xy

−

∂yx

~k.

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂

∂f

∂f

∂

∂f

∂f

∂

∂f

∂f

div rot f~

=

z

−

y

+

x

−

z

+

y

−

x

≡ 0.

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

Упражнения. Проверить соленоидальность следующих полей:

~

2

3

~

3

2

~

~

2~

2 ~

2

2

~

5.13. f = (x

y + y )i + (x

−xy )j. 5.14. f = xy i + x yj

−(x

+ y

)zk.

x

y

(x + y) ln z

~

~

(x

2

2

~

f~ =

~i +

~j

~k

f~ =

xi − yj

+

− y

)zk

5.15.

−

. 5.16.

(x2

+ y2)3/2 .

yz

xz

xy

px2 + y2

Напомним, что для

дифференцируемого скалярного поля f : R3

→

R

3

в том случае, когда положение точки в R

описывается декартовыми ко-

ординатами, вектор grad f определяется равенством

∂f

~

∂f

~

∂f

~

grad f = ∂x i +

∂y j + ∂z k.

1

∂x

∂y

∂z

T

ординатный ортогональный базис {~eξ, ~eη, ~eζ }, где ~eξ =

,

,

;

Hξ

∂ξ

∂ξ

∂ξ

1

∂x

∂y

∂z

T

1

∂x

∂y

∂z

T

~eη =

,

,

; ~eζ =

,

,

– представления базисных

Hη

∂η

∂η

∂η

Hζ

∂ζ

∂ζ

∂ζ

~ ~ ~

1

∂f

1

∂f

1

∂f

grad f =

~eξ +

~eη +

~eζ .

Hξ

∂ξ

Hη

∂η

Hζ ∂ζ

В частности, в цилиндрической системе координат

∂f

1 ∂f

∂f

grad f =

~eρ +

~eϕ +

~ez,

∂ρ

ρ

∂ϕ

∂z

а для сферической системы координат

∂f

1

∂f

1

∂f

grad f =

~eρ +

~eϕ +

~eθ.

∂ρ

ρ sin θ

∂ϕ

ρ

∂θ

тогональных координатах:

div f~ =

1

∂

∂

∂

(HξHηfζ ) .

(HηHζ fξ) +

(HξHζ fη) +

HξHηHζ

∂ξ

∂η

∂ζ

В частности, для цилиндрической системы координат

1 ∂

∂fϕ

∂

1 ∂

1 ∂fϕ

∂fz

div f~ =

(ρfρ) +

+

(ρfz) =

(ρfρ) +

+

,

ρ

∂ρ

∂ϕ

∂z

ρ

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

а для сферической системы координат

div f~ =

1

∂

(ρ2 sin θfρ) +

∂

(ρfϕ) +

∂

(ρ sin θfθ) =

ρ2 sin θ

∂ρ

∂ϕ

∂θ

=

1

∂

(ρ2fρ) +

1

∂fϕ

+

1

∂

(sin θfθ) ,

ρ2

∂ρ

ρ sin θ ∂ϕ

ρ sin θ ∂θ

так как Hρ = 1, Hϕ = ρ sin θ, Hθ = ρ.

~

В [1] было получено представление rot f в цилиндрических и сфери-

ческих координатах соответственно:

1

∂f

∂f

∂f

∂f

1

∂(ρf

)

∂f

rot f~ =

z

−

ρ

ϕ

~eρ

+

ρ

−

z

~eϕ +

ϕ

−

ρ

~ez,

ρ

∂ϕ

∂z

∂z

∂ρ

ρ

∂ρ

∂ϕ

1

∂f

∂(sin θf

)

1

∂f

∂(ρf )

rot f~ =

θ

−

ϕ

~eρ

+

ρ

−

θ

~eϕ +

ρ sin θ

∂ϕ

∂θ

ρ

∂θ

∂ρ

+ρ sin θ

sin θ

∂ρϕ

)

− ∂ϕρ ~eθ.

1

∂(ρf

∂f

Пример 5.5. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении

~

~

~

векторного поля f~ =

xi + yj

− zk

и найти div f~ и rot f~.

x2 + y2 + z2

~

~

случае xi + yj = ~r, то

Так как в данномp

f~ =

ρ~eρ − z~ez

.

ρ2 + z2

По полученным формулам

находим:

p

+ ρ ∂zz

div f~ = ρ

∂ρρ

+

∂ϕ

=

1

∂(ρf

)

∂fϕ

∂f

=

1

2ρ(ρ2 + z2) − ρ3

−

ρ

(ρ2 + z2) − z2

=

2z2

;

(ρ2 + z2)3/2

ρ

(ρ2 + z2)3/2

(ρ2 + z2)3/2

~ez =

rot f~ = ρ ∂ϕz

− ∂zϕ

~eρ +

∂zρ

− ∂ρz

~eϕ + ρ

∂ρϕ

)

−

∂ϕρ

1 ∂f

∂f

∂f

∂f

1

∂(ρf

∂f

~

2

+ ρ)~eρ + zρϕ~eϕ + (z

2

+ ρϕ)~ez.

f(ρ, ϕ, z) = (z

~

~

~

2

2

3

)~eϕ + (ρ

4

+ 1)~eθ.

f(ρ, ϕ, θ) = ρ

ϕ~eρ + (ρϕ

θ + ρ