Материал: Kratn_2

Рассмотрим теперь область D как область, правильную относительно 0y, имеем c = 1, d = e, h1(y) = ln y, h2(y) = 1 и

11

Взаключение приведем пример интеграла по области, не являющейся

правильной ни относительно 0x, ни относительно 0y.

ZZ

Пример 1.6. Вычислить интеграл x2dS, где D – область, изобра-

10

Упражнения. Вычислить интегралы:

ZZ

1.1.x2dS, где область D ограничена кривыми y = ex, y = x + 1 и

D

неравенством x ≤ 12.

ZZ

1.2.xy dS, где область D ограничена кривыми y = x2 и x = y2.

D

ZZ

1.3.x3y dS, где область D ограничена кривыми y = x2 +1 и y = 2.

D

1.4. Найти площадь области D, ограниченной кривыми y = sin x и

y = cos x при π4 ≤ x ≤ 34π.

ZZ

1.5. y dS, где область D ограничена кривыми y = ln x, y = 1,

D

x = 5.

Ответы: 1.1. 388192 − 54√e. 1.2. 121 . 1.3. 0. 1.4. √2.

1.5. 52 ln2 5 − 5 ln 5 − 52 + e.

1.3. Замена переменных в двойном интеграле

Будем считать, что в IR2 наряду с декартовой системой координат 0xy введена также и некоторая другая система координат (система криволинейных координат), в которой положение точки P задается парой вещественных чисел (ξ, η), являющихся координатами P в этой системе. Например, в качестве пары (ξ, η) можно рассматривать пару (ρ, ϕ) полярных координат точки P . Так как каждой точке P взаимно-однозначно соответствует пара ее декартовых координат (x, y), а также пара координат (ξ, η), то по каждому набору координат (ξ, η) однозначно находятся числа x и y. Наоборот,

11

по каждому набору координат (x, y) однозначно вычисляются числа ξ и η. Другими словами, это означает, что

(

x = x(ξ, η);

(1.3)

y= y(ξ, η)

иэта система уравнений однозначно разрешима относительно ξ, η при любых значениях x и y. По теореме об обратной функции достаточными условиями однозначной разрешимости системы (1.3) являются непрерывная дифференцируемость функций x(ξ, η), y(ξ, η) и условие J 6= 0, где J – якобиан преобразования (1.3), т. е.

Будем предполагать эти условия выполненными. Запишем решение системы (1.3) в виде

(

ξ = ξ(x, y);

(1.4)

η = η(x, y).

Система (1.4), естественно, также однозначно разрешима (ее решение задается формулами (1.3)) относительно x, y, так как для нее

Пусть D – ограниченная область с кусочно-гладкой границей в плоскости 0xy, а D0 – соответствующая ей ограниченная область в плоскости

Так как в (1.5) в интеграле по области D0 координаты ξ и η играют роль декартовых координат, то этот интеграл может быть вычислен как соответствующий ему повторный интеграл. Таким образом, равенство (1.5) дает новые возможности вычисления двойного интеграла. Формулу (1.5) называют формулой преобразования двойного интеграла при замене переменных.

12

ZZ

Пример 1.7. Вычислить xy dS, где область D ограничена кри-

D

выми xy = 1, xy = 12, xy = 2, x, y > 0. Здесь удобно сделать замену ξ = xy,

где область D0 ограничена прямыми ξ = 0, ξ = 1, η = 12, η = 2. Таким образом, двойной интеграл легко переписывается через повторный:

Наиболее часто встречающимся примером криволинейных координат являются полярные координаты (ρ, ϕ) точек на плоскости. Если декартова и полярная системы координат согласованы друг с другом стандартным образом, то декартовы и полярные координаты связаны равенствам

(

x = ρ cos ϕ; y = ρ sin ϕ.

Отсюда следует, что ∂x∂ρ = cos ϕ, ∂ϕ∂x = −ρ sin ϕ, ∂y∂ρ = sin ϕ, ∂ϕ∂y = ρ cos ϕ и

якобиан J = ρ.

ZZ

Пример 1.8. Вычислить (x2 + y2)dS, где область D – круг с цен-

D

тром в начале координат и радиусом 2. Применим замену координат и перейдем к полярной системе

13

где область D0 ограничена условием ρ = 2 и естественными условиями 0 ≤ ϕ ≤ 2π и ρ ≥ 0. Перепишем этот интеграл через повторный:

Упражнения. Вычислить интегралы:

ZZ

p

1.6.sin x2 + y2 dS, где D – правый полукруг единичного радиуса

сцентромDв начале координат.

ZZ

1.7.(x2 + y2)dS, где D – круг единичного радиуса с центром (0, 1).

D

x + y = 1.

ZZ

1.9.(x + y)2 + (x − y)3dS, где область D ограничена прямыми

D

x + y = 1, x + y = 2, x − y = 1, x − y = 2.

14