Документ: Kratn_2, страницы 56-60 | База учебных материалов

где направление вектора ~r u0

×~r v0 согласовано с направлением вектора нор-

мали ~n.

~

T

через внеш-

Пример 4.8. Найти поток вектора f(x, y, z) = [0, 0, z]

x2

y2

z2

нюю поверхность эллипсоида

+

= 1.

a2

b2

c2

Зададим поверхность эллипсоида в параметрическом виде ~r(u, v) =

= [a cos u cos v, b cos u sin v, c sin u]T

,

D =

n

(u, v)

−

π

≤

u

≤

π

, 0

≤

v

≤

2π

2

Найдем:

o.

u

−

T

= [

a sin u cos v,

b sin u sin v, c cos u] ,

~r 0

= [

−

a cos u sin v, b cos u cos v, 0]T ,

f~(~r(u, v)) = [0, 0, c sin u].

v

Внешняя нормаль к эллипсоиду определяется равенством

~n = − ~r 0u × ~r 0v k~r 0u × ~r 0vk

=	~r v0	× ~r u0	,

	k~r u0	× ~r v0	k

поэтому				du dv = abcZZ sin2 u cos u du dv =
ZZ (f~(P ), d~σ) =ZZ		f~(~r(u, v)), ~r v0	× ~r u0	du dv = abcZZ sin2 u cos u du dv =
Σ+	D				D
	π				π
	2				2	4
	= 2πabc Zπ	sin2 u cos u du = 4πabc Z0			sin2 ud(sin u) =	4	πabc.

						3
	− 2

Упражнения.

~2 2 T

4.9.Найти поток вектора f = [x , y , z] через всю поверхность тела

H p

R

x2 + y2 ≤ z ≤ H в направлении внешней нормали.

						~			T
4.10.	Найти поток вектора f = [2x,							−	y, 0] через часть поверхности
4.10.		2	+ y	2	2	, x ≥ 0, y ≥ 0, 0		−
цилиндра x			+ y		= R	, x ≥ 0, y ≥ 0, 0	≤ z ≤ H, в направлении внешней

нормали.

~2 2 2 T

4.11.Найти поток вектора f = [x , y , z ] через часть поверхности

H

параболоида

(x2 + y2) = z, z ≤ H, в направлении внутренней нормали.

R2

~

2

,

y

2

, z

2

]

T

через часть сферы

4.12. Найти поток вектора f

= [x

−

x

2

+ y

2

+ z

2

, x ≥ 0, y ≥ 0, z

= R

≥ 0, в направлении внешней норма-

ли.

~

T

через всю поверхность куба

4.13. Найти поток вектора f = [x, y, −2z]

x = ±a, y = ±a, z = ±a, в направлении внешней нормали.

~

2

, 3y

2

, z

2

]

T

через всю поверхность

4.14. Найти поток вектора f = [2x

pp

тела x2 + y2 ≤ z ≤ 2R2 − x2 − y2 в направлении внешней нормали.

55


~	= [x, y, z]	T	через боковую поверхность
4.15. Найти поток вектора f
конуса x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ h, в направлении внешней нормали.
~	= [yz, xz, xy]				T	через боковую поверх-
4.16. Найти поток вектора f
ность пирамиды с вершиной в точке (0; 0; 2) и основанием OAB, O(0; 0; 0),
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0) в направлении внешней нормали.
~			T	через площадку, вырезан-
4.17. Найти поток вектора f = [xy; xz; yz]

ную из плоскости x + y + z = 2 плоскостями x = 0, y = 0, x + y = 1, в направлении внешней нормали.

~2 2 2 T

4.18.Найти поток вектора f = [x ; y ; z ] через часть поверхности

x2 + y2 + 2az = a2, расположенную во втором октанте (x < 0, y < 0, z > 0),

в направлении внешней нормали.					xy,				z2,				T
		~			xy,				z2,				T
4.19. Найти поток вектора f			2= [		2			−52				8]		через круг, отсекаемый
на плоскости x + y = 3 сферой x			+ y				+ z			= 9, в направлении внешней
нормали.
	πR2H	πR2H									πR2H2							πR4
Ответы: 4.9.		. 4.10.				. 4.11.										. 4.12.			. 4.13. 0.
Ответы: 4.9.		. 4.10.	4			. 4.11.							3			. 4.12.		8	. 4.13. 0.
3			4										3					8			√
																	. 4.19. −
4.14. πR4. 4.15. 0. 4.16. 0. 4.17.			1	. 4.18. a4									π	4						21		2	π
														+						21		2		.
			24										48	+	15						4			.

4.3. Теорема Гаусса–Остроградского

Если поверхность Σ замкнута, то соответствующий поверхностный интеграл второго рода обычно обозначается так [1]:

ZZ~ −→

(f, dσ).

Σ+

Замкнутой поверхностью является, например, граница выпуклой области

вR3. Отметим, что замкнутая поверхность является двухсторонней. Поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности может быть сведен к тройному интегралу (аналогично тому, как криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой сводится к двойному интегралу

всоответствии с теоремой Грина). Для формулировки соответствующего утверждения необходимо следующее определение.

	Определение 4.2 [1]. Пусть (x, y, z) – декартовы координаты в R3
~	~	~	~
и f(x, y, z) = fx(x, y, z)i		+ fy(x, y, z)j	+ fz(x, y, z)k – непрерывно дифферен-

цируемая в точке P (x, y, z) векторная функция. Дивергенцией функции

~

f в точке P называется выражение

~	∂fx		∂fy			∂fz
div f =		+			+			,
div f =	∂x	+		∂y	+		∂z	,

56

где все частные производные вычислены в P .

Теорема 4.2 [1] (теорема Гаусса–Остроградского). Пусть Ω –

замкнутая область в R3, ограниченная гладкой замкнутой поверхностью Σ, а Σ+ – поверхность Σ, ориентированная так, что в каждой ее точке выбрана нормаль ~n, являющаяся внешней по отношению к области Ω.

~			3	→ R	3	непрерывно дифференцируема на
Пусть также функция f(P ): R				→ R		непрерывно дифференцируема на
области Ω. Тогда	(f,	−→) =				div f dV.
ZZ	(f,	−→) =				div f dV.
ZZ	~	dσ		ZZZ		~

Σ+				Ω

Теорема Гаусса – Остроградского означает, что поток векторного поля

~

f(P ) через замкнутую поверхность Σ, лежащую в этом поле, в направлении ее внешней нормали равен тройному интегралу по области Ω, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля.

Пример 4.9. Используя теорему Гаусса – Остроградского найти поток

~

3~

2

~

H

2

вектора f = x i + y j + R zk через всю поверхность тела

R2

(x

+ y

) ≤

≤ z ≤ H в направлении внешней нормали.

~

2

, то

Так как div f = 3(x

+ y

) + R

=

(f, −→) =

(3(

+

) +

)

x = ρ cos ϕ

ZZZ

z = z

ZZ

~ dσ

x2

y2

R2

dV

y = ρ sin ϕ

Σ+

Ω

2π

R

H

R

Hρ2

= dϕ (3ρ2 + R2)ρ dρ

dz = 2π (3ρ2 + R2) H −

ρ dρ =

2

R2

Z0

HρZ

Z0

R2

=

2R2

R

Z0

(R4 + 2R2ρ2 − 3ρ4)ρ dρ = πHR4.

πH

Пример 4.10. Используя теорему Гаусса–Остроградского найти по-

~

ток вектора f = xi+yj+zk через всю поверхность пирамиды, ограниченной

плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

~

Так как div f = 3, то

ZZ (f~, d~σ) = ZZZ

1

1−x

1−x−y

3dx dy dz = 3 Z0

dx Z0

dy

Z0

dz =

Σ+

Ω

57

1	1−x		1
= 3 Z0	dx Z0	(1 − x − y)dy = 3 Z0	dx

−(1 − x − y)2 1−x!

2 0

=

Z

1

2

3

1

−

6

2

(1

2

0

= 3

− x)

dx =

3

(1 − x)

=

1

.

0

Пример 4.11. Используя теорему Гаусса–Остроградского

найти по-

~

ток вектора f = yzi + xzj + xyk через замкнутую поверхность Σ в направ-

лении ее внешней нормали.

Так как div f = 0, то

ZZ (f~, d~σ) = ZZZ

0dV = 0.

Σ+

Ω

Упражнения. Используя теорему Гаусса – Остроградского решить за-

дачи:

~

4.20. Найти поток вектора f = xyi + yzj + xzk через полную поверх-

ность восьмой части шара x2 + y2 + z2 ≤ 1, лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.

~ 2~ 2~ 2~

4.21. Найти поток вектора f = x i + y j + z k через лежащую в первом октанте замкнутую поверхность, ограниченную координатными плоскостями и параболоидом x2 + y2 + 2az = a2, в направлении внешней нор-

мали.	2		3~
~	2	y	3~	~	~
4.22. Найти поток вектора f = x		y	i	+ j	+ zk через полусферу z =

p

=R2 − x2 − y2 в направлении внешней нормали.

~

2~

~

4.23. Найти поток вектора f = x i + y

j + zk через всю поверхность

H

p

тела

x2 + y2 ≤ z ≤ H в направлении внешней нормали.

R

~

4.24. Найти поток вектора f = 2xi

−

yj через часть поверхности ци-

линдра x

2

+ y

2

, x

= R

≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ H, в направлении внешней

нормали.

~

2~

4.25. Найти поток вектора f = x i + y

j + z

k через часть поверхности

параболоида

H

(x2 + y2) = z, z ≤ H, в направлении внутренней нормали.

R2

~

2~

y

2~

4.26. Найти поток вектора f

= x i

−

j + z

k через часть сферы

x

2

+ y

2

+ z

2

= R

, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, в направлении внешней номрали.

~

−

~

4.27. Найти поток вектора f = xi + yj

2zk через всю поверхность

куба x = ±a, y = ±a, z = ±a, в направлении внешней нормали.

~

2~

4.28. Найти поток вектора f = 2x i + 3y

j + z

k через всю поверх-

мали.

p

≤

≤ p

x2

+ y2

z

2R2

−

x2

−

y2

в направлении внешней нор-

ность тела

58

~	3~	3~	− z	3~
4.29. Найти поток вектора f = x i + y		j	− z	k через всю поверхность

куба 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a в направлении внешней нормали. 4.30. Доказать, что поток радиуса-вектора ~r через любую гладкую

замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью.

~~r

4.31.Найти поток вектора f = k~rk через всю поверхность сферы

x2 + y2 + z2 = R2 в направлении внешней нормали.

~~r

4.32.Найти поток вектора f = k~rk3 через произвольную гладкую

замкнутую поверхность Σ, окружающую начало координат.
			3				a4			π	4			2		πR2H
Ответы: 4.20.					π. 4.21.						+		. 4.22.		πR3. 4.23.		.
				16			3			16		5		3		3
4.24.	πR2H	. 4.25.		πR2H2		. 4.26.			πR4		. 4.27. 0. 4.28. πR4. 4.29. a5.
			3					8
4

4.31.4πR2. 4.32. 4π.

4.4.Теорема Стокса

Рассмотрим в R3 гладкую ориентированную поверхность Σ+, целиком лежащую в ограниченной области Ω. Обозначим через l замкнутую кривую в R3, являющуюся краем поверхности Σ+, и будем считать l гладкой кривой. Зададим на l направление, согласованное с ориентацией Σ+: в качестве направления на l возьмем то из двух возможных направлений, при движении в котором по l поверхность Σ остается “слева”, а вектор ~n+ нормали на Σ+ направлен “вверх”. Так ориентированную кривую l обозначим l+.

Пусть в области Ω задана непрерывно дифференцируемая функция

I

~	~ ~
f(P ). Криволинейный интеграл второго рода	(f, dl) оказывается связан-

l+

ным с некоторым поверхностным интегралом по Σ+. Для формулировки соответствующего утверждения необходимо следующее определение.

Определение 4.3 [1]. Пусть (x, y, z) – декартовы координаты в R3

~		~	~			~
и f(x, y, z) = fx(x, y, z)i + fy(x, y, z)j + fz(x, y, z)k – непрерывно дифферен-
								~
цируемая в точке P (x, y, z) векторная функция. Ротором функции f в
точке P называется вектор			∂zx −		∂xz	~j + ∂xy −		∂yx ~k,
rot f~ = ∂yz		− ∂zy ~i +	∂zx −		∂xz	~j + ∂xy −		∂yx ~k,
	∂f	∂f		∂f	∂f		∂f	∂f

где все частные производные вычислены в точке P .

59

Материал: Kratn_2

Смотрите также: