Материал: Sb95841

Потенциальная энергия деформации стержня длиною l при кручении имеет вид

l M 2 dx UM x x 2 .

0 2GJρ

На рис. 1.8, а показан стержень, испытывающий деформацию чистого изгиба; на рис. 1.8, б дано распределение нормального составляющего напряжения, возникающего в сечении.

При чистом изгибе нормальные составляющие напряжения

При чистом изгибе нормальные составляющие напряжения ζx меняются по сечению (рис. 1.8, б). Поэтому при вычислении потенциальной энергии элементарного объема выделенного элемента необходимо в сечении выделить элементарную площадку dF и проинтегрировать полученное выражение по площади сечения F :

где z2dF J y – осевой момент инерции сечения относительно оси коорди-

F

нат z. Потенциальная энергия деформации стержня длиной l

11

Аналогично потенциальная энергия для стержня, испытывающего чистый изгиб в плоскости xOy,

Рассмотрим потенциальную энергию стержня, испытывающего деформацию плоско-поперечного изгиба (рис. 1.9, а). На рис. 1.9, б представлено распределение нормальных и касательных составляющих напряжений по сечению стержня.

Потенциальная энергия деформации элементарного объема выделенного элемента вычисляется аналогично потенциальной энергии при чистом изгибе, при этом разделим и умножим полученное выражение на F :

12

Аналогично, когда силы и моменты сил действуют в плоскости xOy,

Окончательно потенциальная энергия деформации стержня при общем пространственном нагружении, когда возникают все шесть внутренних усилий, имеет вид

1.2.4. Теорема Кастильяно

Теорема Кастильяно устанавливает зависимость между обобщенным перемещением и потенциальной энергией. Пусть к твердому телу приложена обобщенная сила Р. От силы Р тело получило перемещение δ . Работа силы Р на перемещение δ , а следовательно, и потенциальная энергия деформации будет равна A U Pδ.

Дадим силе приращение dP. Твердое тело от силы dP получит перемещение dδ и, соответственно, потенциальная энергия получит приращение

U U dP.

P

Приложим силы в обратном порядке. Сначала приложим силу dP, и она на перемещении dδ совершит работу 12 dP dδ . Затем приложим силу Р, и она

совершит работу на перемещение δ, которая будет равна потенциальной энергии U . Одновременно сила dP , приложенная раньше, совершит работу на перемещение δ – dPδ .

Сопоставим потенциальную энергию деформации в первом случае приложения сил и во втором:

13

U U dP U 1 dP dδ dPδ.

P 2

Членом 12 dP dδ можно пренебречь как величиной второго порядка ма-

лости, и тогда имеем

δ U .

ρ

Отсюда следует формулировка теоремы Кастильяно: обобщенное перемещение равно частной производной от потенциальной энергии по обобщенной силе.

В общем случае для стержня, испытывающего деформации растяжениясжатия, кручения и изгиба, теорема Кастильяно имеет вид

Процесс расчета перемещений по данной формуле заключается в составлении уравнений для внутренних усилий по участкам стержня, вычисления производных от них по некоторой обобщенной силе и вычисления интегралов.

Если вычислению подлежат перемещения в сечениях, где не приложена внешняя сила (это относится к деформации изгиба), то прибегают к искусственному приему дополнения нагрузки, т. е. в данном сечении прикладывается фиктивная сила, равная нулю, если определяется линейное перемещение (рис. 1.10, а), или фиктивный момент, равный нулю, если определяется угловое перемещение (рис. 1.10, б).

P 0

ф

A

A

Рис. 4.9 Рис. 1.10

14

Пример 1.2. Рассмотрим конструкцию, расчетная схема которой представлена на рис. 1.11, а. Стержень жестко закреплен в крайнем правом сечении. В левом сечении стержня действует сила Р. Длина стержня l. Жесткость EJ y стержня при изгибе постоянна по длине стержня.

Требуется определить перемещение w0 сечения стержня под действием силы P.

Решение:

1.Проведем оси координат. Начало координат выберем в крайнем левом сечении, направим ось x вдоль оси стержня, ось z – вниз, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа так, чтобы система координатных осей стала правой.

2.Искомое линейное перемещение uz0 считаем обобщенным переме-

щением: uz0 .

3. Обобщенной силой, соответствующей обобщенному перемещению, является сила Р, действующая в сечении, где определяется перемещение:

P P .

об

4. Реакции опоры можно не определять, если рассматривать равновесие отсеченной левой части при составлении уравнения изгибающего момента M y .

15