Материал: Sb97952

Точные решения (2.1) можно получить только для некоторых частных случаев (точечный заряд, заряженная проводящая сфера, бесконечный проводящий заряженный цилиндр и т. д.), обладающих высокой степенью симметрии по отношению к созданной в этих случаях структуре электростатического поля. В остальных случаях уравнение решается приближенно численными методами (метод конечных разностей, метод конечных элементов и т. д.).

Дифференциальное уравнение (2.1) в качестве неизвестного содержит вектор напряженности электростатического поля. Следовательно, (2.1) в общем случае есть уравнение относительно трех неизвестных Ex (x, y, z) , Ey (x, y, z) , Ez (x, y, z) , представляющих скалярные проекции вектора напряженности электростатического поля на соответствующие оси системы координат (x, y, z) . Обычно решение такого уравнения представляет определенную сложность. Для того чтобы упростить решение дифференциального уравнения (2.1), используем выражение E , откуда получим

уравнение Пуассона:

,0

где – оператор Лапласа.

Если правая часть уравнения Пуассона равна нулю, то такое уравнение является уравнением Лапласа:

0 .

2.2.Указания к выполнению работы

1.Решить уравнение Пуассона для заданных условий любым из

расчетных методов (описание метода должно быть представлено

восновных теоретических положениях).

2.Построить график поверхности зависимости f (x, y) , полученной

решением уравнения Пуассона для заданных условий.

3.Построить контурный график (график линий уровня) зависимости

f (x, y) , полученной путем решения уравнения Пуассона для заданных

условий.

4. Получить таблицу результатов решения уравнения Пуассона для заданных условий.

11

2.3. Пример типового задания

Решить уравнение Пуассона для расчетной области 30 × 30 см с тремя

Для решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями в программном пакете Mathcad существует специальная функция multigrid. Для того чтобы воспользоваться данной функцией, следует предварительно задать квадратную матрицу размером 2n, где n – любое целое положительное число. Подобный размер матрицы требуется для корректной работы функции. Каждый элемент матрицы – это число, задающее интенсивность источника в данной точке квадратной области интегрирования.

После задания квадратной матрицы следует обнулить матрицу правых частей уравнения и задать значения правой части уравнения Пуассона:

n := 64 // задание квадратной матрицы

Mn, n := 0 // обнуление матрицы правых частей уравнения Пуассона

I := 1...n j := 1...n Mi, j := 0 // задание значений правой части уравнения Пуассона

Далее требуется задать источники заряда. Нижние индексы – это координаты в формате (x, y):

М29, 42 := –17 М26, 32 := –8 М36, 3 := –17 // задание источников заряда

После задания всех исходных данных вызывается встроенная функция multigrid программного пакета Mathcad:

F := –multigrid (M, ncycle),

12

где М – заданная квадратная матрица; ncycle – число циклов на каждом уровне интеграции функции multigrid (обычно используют значение 2, так как дает хорошую аппроксимацию решения).

φ

y

2. Следующим этапом является построение графика поверхности и контурного графика зависимости f (x, y) , полученной решением уравнения Пуассона для заданных условий: вызов графика поверхности и графика линий уровня зависимости f (x, y) (рис. 2.1 и 2.2 соответственно).

2.5. Содержание отчета

1.Основные теоретические сведения по расчету электростатических

полей.

2.Привести график поверхности зависимости f (x, y) , полученной

решением уравнения Пуассона для заданных условий.

3. Привести контурный график (график линий уровня) зависимости

f (x, y) , полученной решением уравнения Пуассона для заданных условий.

4.Привести таблицу результатов решения уравнения Пуассона для заданных условий.

5.Привести листинг кода программы, решающей уравнение Пуассона для заданных условий.

6.Сформулировать выводы по результатам решения уравнения Пуассона.

2.6.Вопросы для самоконтроля

1.В чем плюсы и минусы метода расчета электростатического поля по теореме Гаусса?

13

2.В чем плюсы и минусы метода расчета электростатического поля по уравнению Пуассона?

3.Каким образом из бесконечного числа решений уравнения Пуассона выделяется решение конкретной задачи?

4.Можно ли уравнение Пуассона использовать для нахождения переменных во времени электрических полей?

5.Каким образом при решении уравнения Лапласа получаются нетривиальные (отличные от нуля) решения?

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Цель работы: ознакомление с методикой моделирования движения заряженных частиц в электрическом поле.

3.1. Основные теоретические положения

На точечный заряд, помещенный в электрическое поле напряженностью Е , действует сила, противоположная по направлению вектору E:

По второму закону Ньютона, если на тело действуют силы (действие системы сил на точечное тело всегда можно свести к действию одной силы – результирующей), то тело меняет свой импульс:

1 (v2 /с2 )

где v – скалярная проекция вектора скорости заряженной частицы на рассматриваемое направление движения; c – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

14

Для получения уравнения движения заряженной частицы в электрическом поле используем выражения (3.1), (3.3), (3.4), которые подставим в (3.2):

фактора ( ). Решив (3.5) относительно радиуса-вектора, можно получить траекторию движения заряженной частицы в электрическом поле.

В случае если скорость движения заряженной частицы много меньше скорости распространения электромагнитной волны в вакууме ( v c ), то релятивистский фактор принимается равным единице (γ = 1). При этом нужно следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один момент рассматриваемого времени.

3.2.Указания к выполнению расчета

1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) движение заряженной частицы в электрическом поле для заданных условий.

2.Получить таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электрическом поле для заданных условий.

3.Построить график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

3.3. Пример типового задания

Электрон влетает в электрическое поле плоского конденсатора с напряженностью E = – 30 В/м (поле направленно вдоль оси 0z), со скоростью v 1.5·108 м/с. Смоделировать движение электрона, если известно, что он движется вдоль оси 0x. Координаты электрона в начальный момент времени: x0 = –5 см, y0 = 3 см, z0 = –6 см.

3.4. Пример решения задания

Компоненты напряженности магнитного поля:

Ex = 0; Ey = 0; Ez = 1200 В/м.

Компоненты скорости электрона: vx = 12·107 м/с; vy = 0; vz = 0.

Координаты электрона в начальный момент времени: x0 = –12·10–2 м; y0 = –4·10–2 м; 5 см; z0 = 12·10–2 м.

15