Документ: Sb97952, страницы 16-20 | База учебных материалов

Для того чтобы получить траекторию движения заряженной частицы в электрическом поле, необходимо решить (3.5) относительно радиуса-вектора. Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка, воспользуемся функцией rkfixed. Функция rkfixed использует для поиска решения метод Рунге–Кутты четвертого порядка. Функция rkfixed имеет следующие аргументы: rkfixed (k, t1, t2, npoints, D), где k – вектор начальных значений; t1, t2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение; npoints – число точек, в которых ищется приближенное решение; D – функция, возвращающая значение в виде вектора из npoints элементов, которые в случае ОДУ второго порядка представляют собой первые и вторые производные функции.

Зададим начальные условия для вектора k (задается в виде столбца): k = (x0, vx, y0, vy, z0, vz),

где vx, vy, vz – это первые производные по соответствующим координатам. Функция D(t, k) является вектором с шестью элементами (из которых три

(k1, k3, k5) – это первые производные от координат, определенные ранее, а оставшиеся – вторые производные от координат, которые получаются исходя из второго закона Ньютона, записанного для силы электростатической силы):

k
	1							qEx
								qEx
							1	3						1
		mk 2			k 2	/с2	1		с2			k 2	с2	1
		mk 2		1	k 2	/с2			с2	m	1	k 2	с2
			1		1							1



k3
								qEx
								qEx
															.
D(t, k)							1	3						1	.
		mk 2			k 2	/с2	1		с2			k 2	с2	1
		mk 2		1	k 2	/с2			с2	m	1	k 2	с2
			3		3							3




k5
								qEx
								qEx
							1	3						1
		mk 2			k 2	/с2			с2			k 2	с2
				1						m	1
				1						m	1
			5		5							5

16

При записи вектора D(t, k) нужно следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один момент рассматриваемого времени.

Вычисление решения в 2000 промежуточных точках на отрезке времени

[0, 0.00001]: RK = rkfixed (k, 0, 0.00001, 2000, Z).

Матрица, полученная в результате решения, содержит семь столбцов (табл. 3.1): первый содержит значения t, при которых ищется решение; второй – x(t); третий – x'(t); четвертый – y(t); пятый – y'(t); шестой – z(t); седьмой – z'(t).

						Таблица 3.1
	Результаты моделирования движения заряженной частицы
		в электрическом поле

t, с	x, м	vx, м/с	y, м	vy, м/с	z, м	vz, м/с

0	–1.20E-01	1.2E+08	–0.04	0	0,12	0

5.00E-07	5.99E+01	1.2E+08	–0.04	0	2.57E+01	9.95E+07

1.00E-06	1.20E+02	1.2E+08	–0.04	0	9.50E+01	1.73E+08

1.50E-06	1.80E+02	1.2E+08	–0.04	0	1.94E+02	2.18E+08

2.00E-06	2.40E+02	1.2E+08	–0.04	0	3.10E+02	2.44E+08

2.50E-06	3.00E+02	1.2E+08	–0.04	0	4.36E+02	2.61E+08

3.00E-06	3.60E+02	1.2E+08	–0.04	0	5.69E+02	2.71E+08

3.50E-06	4.20E+02	1.2E+08	–0.04	0	7.07E+02	2.78E+08

4.00E-06	4.80E+02	1.2E+08	–0.04	0	8.47E+02	2.83E+08

4.50E-06	5.40E+02	1.2E+08	–0.04	0	9.89E+02	2.86E+08

5.00E-06	6.00E+02	1.2E+08	–0.04	0	1,13E+03	2.89E+08

5.50E-06	6.60E+02	1.2E+08	–0.04	0	1.28E+03	2.90E+08

6.00E-06	7.20E+02	1.2E+08	–0.04	0	1.42E+03	2.92E+08

6.50E-06	7.80E+02	1.2E+08	–0.04	0	1.57E+03	2.93E+08

7.00E-06	8.40E+02	1.2E+08	–0.04	0	1.72E+03	2.94E+08

7.50E-06	9.00E+02	1.2E+08	–0.04	0	1.86E+03	2.95E+08

8.00E-06	9,60E+02	1.2E+08	–0.04	0	2.01E+03	2.95E+08

8.50E-06	1.02E+03	1.2E+08	–0.04	0	2.16E+03	2.96E+08

9.00E-06	1.08E+03	1.2E+08	–0.04	0	2.31E+03	2.96E+08

9.50E-06	1.14E+03	1.2E+08	–0.04	0	2.46E+03	2.97E+08

1.00E-05	1.20E+03	1.2E+08	–0.04	0	2.60E+03	2.97E+08

17

					Согласно условию, частица
					движется вдоль оси 0x, поле направ-
	z,, м				движется вдоль оси 0x, поле направ-
					лено вдоль оси 0z. Поэтому y-я со-
	2000				ставляющая скорости будет равна
	<5>				нулю.
RK					нулю.
1000					Траектория движения электрона
1000					представляет собой зависимость ко-
					представляет собой зависимость ко-
					ординаты z от x. Для этого построим
0		500	<2>1000	м	график z = f(x) для t = 0…0.00001 c
0		500	<2>1000	xx,м
		RK			(рис. 3.1).
		Рис. 3.1			(рис. 3.1).
		Рис. 3.1			При этом для получения досту-
					При этом для получения досту-

па к столбцу, задающему координаты, в массиве [RK] необходимо использовать треугольные скобки , в которые вписывается номер столбца (для x –

2, для z – 5).

3.5. Содержание отчета

1.Основные теоретические сведения по моделированию движения заряженной частицы в электрическом поле для заданных условий.

2.Привести таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электрическом поле для заданных условий.

3.Привести график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

4.Привести листинг кода программы, моделирующей движение заряженной частицы в электрическом поле для заданных условий.

5.Сформулировать выводы по результатам моделирования движения заряженной частицы в электрическом поле для заданных условий.

3.6.Вопросы для самоконтроля

1.По какой траектории в общем случае движется точечный электрический заряд в постоянном (не меняется с течением времени) однородном (одинаковом в любой точке геометрического пространства) электрическом поле?

2.Меняется ли кинетическая энергия (энергия движения) заряженной частицы, движущейся в постоянном и однородном электрическом поле?

18

4.МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ

ВМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Цель работы: ознакомление с методикой моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле.

4.1. Основные теоретические положения

На точечный заряд, помещенный в однородное магнитное поле, дей-

ствует сила
F q(v B) m	dv	,	(4.1)
	dt

где (v B) – векторное произведение вектора скорости (v) и вектора индукции магнитного поля ( B ).

Воздействие (4.1) направлено перпендикулярно к скорости. Это означает, что поле оказывает влияние лишь на направление движения, а не на скорость.

По второму закону Ньютона, если на тело действует сила (действие системы сил на точечное тело всегда можно свести к действию одной результи-

рующей силы), то тело меняет свой импульс:
	F		dp	.		(4.2)
	F			.		(4.2)
			dt
Импульс заряженной частицы в общем случае определяется по формуле,
являющейся релятивистской:
p		mv			,	(4.3)


	1 (v2/с2 )
где p – вектор импульса заряженной частицы;						релятивистский фактор

(гамма-фактор, Лоренц-фактор);	m масса заряженной частицы; v – вектор
скорости заряженной частицы.
Гамма-фактор для заряженной частицы определяется соотношением
	1		,	(4.4)


		1 (v2/с2 )

где v скалярная проекция вектора скорости заряженной частицы на рассматриваемое направление движения; с скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Для получения уравнения движения заряженной частицы в магнитном поле, подставим (4.1), (4.3), (4.4) в уравнение (4.2):

19

q

F m( v B ) a v	,	(4.5)

где a – вектор ускорения частицы; – производная по времени от гаммафактора ( ).

Решив (4.5) относительно радиуса-вектора, можно получить траекторию движения заряженной частицы в магнитном поле.

В случае если скорость движения заряженной частицы много меньше скорости распространения электромагнитной волны в вакууме ( v c ), то релятивистский фактор принимается равным единице ( 1). При этом необходимо следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один последующий момент рассматриваемого времени.

4.2.Указания к выполнению расчета

1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) движение заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

2.Получить таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

3.Построить график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

4.3. Пример типового задания

Электрон, обладающий скоростью v = 2·107 м/с (вектор скорости направлен вдоль оси 0y), влетает в однородное магнитное поле с индукцией В 3 Тл. Смоделировать движение электрона, если известно, что он движется вдоль оси 0x, при этом координаты электрона в начальный момент времени (t0 ): x0 9 см, y0 –3 см, z0 – 9 см.

4.4. Пример решения задания

Компоненты индукции магнитного поля:

Bx 0; By 0; Bz –3 Тл.

Компоненты скорости электрона: vx 0; v y –12·107 м/с; vz 0.

Координаты электрона в начальный момент времени: x0 = 9 · 10–2 м; y0 = –3 · 10–2 м; z0 = –9 · 10–2 м.

20

Материал: Sb97952

Смотрите также: