Материал: А27103 Василинец И. М., Колодязная В.С. Методы исследования

Следует иметь в виду, что чем больше переменных параметров и чем больше число измерений в каждой серии, тем большее количество измерений необходимо произвести.

Уравнения (2.27)–(2.29) называют уравнениями регрессии.

Подробно математические методы планирования экспериментов описаны в специальной литературе. Могут быть рекомендованы источни- ки [1, 2, 3, 4].

можно записать в виде

D1 = 23,5 + 4,5A1 + 7,8B1 + 8,2C1 – 55A12 + 75A1B1. (2.32)

В данном уравнении в качестве параметра у используется ячейка D1;

В качестве переменных параметров: х₁ – ячейка А1, х₂ – В1, х₃ – С1.

В графе окно "Сервис" главного меню открыть окно "Поиск решения…". При этом раскроется окно "Поиск решения". В данном окне установить курсор в окно "Установить целевую" и выделить ячейку, в которую введено ранее полученное уравнение регрессии (в нашем примере D1). Далее установить курсор в окно "Изменяя ячейки" и выделить ячейки переменных параметров (в нашем примере А1, В1 и С1).

Установить точку в окне "Равная максимальному значению" (или минимальному значению, или значению 0, или другой величине). Далее в окно "Ограничения" необходимо внести предельные значения переменных параметров (в нашем примере А1, В1 и С1), используя кнопку "Добавить", открывающей окно "Добавление ограничения". При этом вводят ограничения значками <=, =, >=. Каждое ограничение вводят по отдельности кнопкой "ОК". Далее начинают выполнять расчеты нажатием кнопки "Выполнить".

В конце расчетов появится окно "Результаты поиска решения". В случае успешного решения появится надпись "Решение найдено. Все ограничения и условия оптимизации выполнены". При этом в ячейках переменных параметров появятся их оптимальные величины (в нашем примере в ячейках А1, В1 и С1), а в ячейке для функции – ее оптимальная величина (в нашем примере в ячейке D1).

При отсутствии оптимальной величины или ошибок ввода появится надпись "Поиск не может найти подходящего решения". В этом случае необходимо найти и исправить ошибки и повторить расчеты.

В дальнейшем целесообразно провести некоторое число экспериментов вблизи точки, определенной в качестве оптимума переменных параметров, и повторить расчеты для определения более точного значения оптимальных параметров.

2.3.4. Пример оптимизации процесса приготовления пивного сусла

Одним из параметров, определяющих экономичность производства пива, является выход экстракта из затираемой массы, зависящий в большой мере от типа и количества применяемых ферментных препаратов, содержания зернопродуктов.

В качестве примера рассмотрим применение трех ферментных пре-паратов: амилосубтилина Г 10Х (обозначим х₁), амилоризина ПХ (обозначим х₂) и цитороземина ПХ (обозначим х₃).

На основе ранее выполненных экспериментов выбираем основной фон изучаемых факторов: х₁₀ = 0,04 %; х₂₀ = 1,0 %; х₃₀ = 1,5 %. Выбираем также интервалы варьирования переменных факторов (наибольшие допустимые погрешности параметров): Δ₁ = 0,02 %, Δ₂ = 0,5 % и Δ₃ = 0,5 % .

Находим верхний и нижний уровни изучаемых факторов, %:

= 0,04 + 0,02 = 0,06 %;

= 0,04 – 0,02 = 0,02 %;

= 1,0 + 0,5 = 1,5 %;

= 1,0 – 0,5 = 0,5 %;

= 1,5 + 0,5 = 2,0 %;

= 1,5 – 0,5 = 1,0 %.

Далее составляем план опытов, в котором предусматриваем проведение экспериментов в различных вариантах при предельных значениях переменных параметров. Для получения более достоверных результатов каждый опыт необходимо повторить несколько раз (в нашем случае производится трехкратное повторение опытов).

Результаты опытов приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Матрица экспериментальных данных

Затем необходимо открыть программу Microsoft Exсel и перенести значения переменных параметров х₁, х₂ и х₃, а также среднюю величину функции у_ср в таблицу программы. При этом в столбец А вводят данные па-раметра х₁, в столбец В – параметра х₂, в столбец С – параметра х₃, в столбец D – функцию у_ср.

Задаемся видом уравнения регрессии, которую хотим получить при реализации данного плана опытов,

у = b₀ + b₁х₁ + b₂х₂ + b₃х₃. (2.33)

Необходимо произвести манипуляции, приведенные выше.

На основе расчетов, произведенных ЭВМ, получаем уравнение регрессии

у = 76,5 + 16,875х₁ + 2,875х₂ – 0,175х₃. (2.34)

При этом коэффициент множественной регрессии равен 0,923 и параметр R² = 0,852. Величина множественной регрессии показывает достаточно хорошую сходимость (максимальная величина множественной регрессии равна 1).

Для нахождения величин переменных параметров, обеспечивающих максимальный выход экстракта, необходимо ввести уравнение регрессии в ячейку D1, зарезервировав ячейку А1 для параметра х₁, ячейку В1 для параметра х₂ и ячейку С1 для параметра х₃. Уравнение регрессии для ввода в ЭВМ будет иметь вид:

D1 = 76,5 + 16,875  А1 + 2,875  В1 – 0,175  С1. (2.34)

Далее в ячейки А1, В1 и С1 вводят минимальные значения параметров х₁, х₂ и х₃.

В конце необходимо в главном меню «Сервис» открыть меню «Поиск решения…» и произвести действия, описанные ранее.

В результате расчетов в таблице появятся данные переменных параметров, соответствующие максимальному значению выхода экстракта. В нашем случае максимальное значение выхода экстракта будет при расходе амилосубтилина Г 10Х (параметр х₁) 0,06 %, амилоризина ПХ (параметр х₂) 1,5 % и цитороземина ПХ (параметр х₃) 1 %. При этом у_max = 82,56 %.

Минимальный выход экстракта предполагается при расходе амилосубтилина Г 10Х (параметр х₁) 0,02 %, амилоризина ПХ (пара- метр х₂) 0,5 % и цитороземина ПХ (параметр х₃) 1 %. При этом предполагается y_min = 77,36 %.

2.3.5. Пример оптимизации использования питательной среды при культивировании пекарских дрожжей

Выход биомассы пекарских дрожжей определяется рядом факторов, среди которых первостепенное значение имеет массовая доля азота и фосфора в среде, а также биотина, являющегося стимулятором роста дрожжей.

Рассмотрим зависимость выхода биомассы от массы сахарозы, выраженной в процентах, от массовой доли сульфата аммония – х₁, диаммонийфосфата – х₂ и биотина – х₃ в среде при выращивании сахаромицетов.

Исходя из ранее выполненных исследований в качестве основного фона выбраны следующие значения изучаемых параметров: х₁₀ = 400 мг/л, х₂₀ = 30 мг/л, х₃₀ = 1 мг/л. Выбираем интервалы варьирования пере- менных факторов (наибольшие допустимые погрешности параметров): Δ₁ = 200 мг/л; Δ₂ = 20мг/л; Δ₃ = 1 мг/л .

Находим верхний и нижний уровни изучаемых факторов:

= 400+200 = 600;

= 400 –200 =200;

= 30 + 20 = 50;

= 30 – 20 = 50;

= 1 + 1 = 2;

= 1 – 1 = 0.

Составляем план опытов для проведения экспериментов, в котором предусматривается проведение экспериментов в различных вариантах при предельных значениях переменных параметров. Для получения более достоверных результатов каждый опыт целесообразно повторить несколько раз (в нашем случае производится трехкратное повторение опытов).

Результаты опытов приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Матрица экспериментальных данных