Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

a1 = (a11, a12 ,..., a1n ), a2 = (a21, a22 ,..., a2n ),

am = (am1, am2 ,..., amn ).

Тогда этой системе можно дать следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в евклидовом пространстве n в ортонормированном базисе задано m векторов a1, a2 ,..., am . Задача состо-

ит в том, чтобы найти все векторы X = (x1, x2 ,..., xn ) , ортогональные каждому из векторов a1, a2 ,..., am .

dim L = n −r . Базисом ортогонального дополнения L служит фундаментальная система решений данной системы однородных уравнений AX = O .

тельно). Построим L .

Сначала найдем базис в L . При α =1 , β = 0 получаем вектор a1 = (1,1,1,0,0) . При α = 0 , β =1 получаем вектор a2 = (0,0,1,1,1) . Векторы a1, a2 служат базисом в L , так как

они линейно независимы (докажите!), и любой вектор x L можно записать в виде их линейной комбинации: x =αa1 + βa2 .

Рассмотрим матрицу A , строками которой являются векторы a1 и a2 , т.е.

Составим однородную систему AX = O . Тогда L - это пространство решений системы AX = O , найдем ее фундаментальную систему решений.

Пусть x1, x4 , x5 - свободные переменные. Тогда ФСР образуют три решения

X1 = (1, −1,0,0,0) ,

X2 = (0,1, −1,1,0) ,

X3 = (0,1, −1,0,1) .

Итак, базис ортогонального дополнения L построен – это векторы X1 , X2 , X3 . Тогда любой вектор x L может

быть записан в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

L ={x : x =αX1 + β X2 +γ X3} =

={x : x = (α, −α + β +γ, −β −γ, β,γ) α, β,γ } .

3.9.Скалярное произведение в линейных пространствах над конечными полями

Евклидово пространство по определению является линейным пространством над полем действительных чисел. Поэтому линейные пространства над конечными полями не являются евклидовыми пространствами. Однако в них по аналогии с евклидовыми пространствами определяют понятия скалярного произведения векторов, нормы вектора, расстояния между векторами. При этом, в отличие от евклидовых пространств, норма вектора и расстояние между векторами определяются независимо от скалярного произведения векторов.

Приведем соответствующие определения для арифме-

i=1

Непосредственно из определения следует, что скаляр-

ное произведение векторов пространства Pn над конечным полем P обладает всеми свойствами 1 - 3 и 2′, 3′ скалярного произведения (см. п.3.1). В то же время свойство 4, по которому (x, x) > 0 при x ≠θ , здесь теряет силу, поскольку в

конечном поле отсутствует понятие "больше". С этим и свя-

зан тот факт, что норма вектора в Pn определяется не через скалярное произведение.

Определение. Нормой (или весом) Хэмминга вектора x = (x1, x2 ,..., xn ) из пространства Pn над конечным полем P называется число ненулевых компонент xi в векторе x .

Обозначение: x .

Это понятие нормы вектора, отличное от понятия нормы вектора в евклидовом пространстве, обладает свойствами, похожими на свойства нормы. А именно, для любых век-

торов x, y Pn и любого λ P \{0} верно:

1) x ≥ 0 , причем x = 0 x =θ ;

2)λx = x ;

3) x + y ≤ x + y .

Свойства 1 -2 очевидны. Докажем свойство 3. Пусть

x = (x1, x2 ,..., xn ) ,

y= ( y1, y2 ,..., yn ) , x + y = (t1,t2 ,...,tn ) .

Если в векторе x + y компонента ti ≠ 0 , то по крайней мере один из элементов xi , yi отличен от нуля. Следовательно, суммарное число ненулевых компонент в векторах x и y не меньше числа ненулевых компонент в векторе x + y . Отсюда

и следует свойство 3.

Определение. Расстоянием Хэмминга между вектора-

ми x, y Pn называется число ρ(x, y) = x − y .

Можно показать, что так определенное расстояние между векторами удовлетворяет следующим аксиомам метрики:

1)ρ(x, y) ≥ 0 , ρ(x, y) = 0 x = y ;

2)ρ(x, y) = ρ( y, x) ;

3)ρ(x, y) + ρ( y, z) ≥ ρ(x, z) .

Утверждения 1 - 2 очевидны. Докажем утверждение 3:

ρ(x, y) + ρ( y, z) = x − y + y − z ≥

≥(x − y) +( y − z) = x − z = ρ(x, z) .

Впространстве Pn над конечным полем P дословно так же, как и в евклидовом пространстве, можно, пользуясь скалярным произведением, определить понятия ортогональ-

ности векторов, ортогонального дополнения L для подпространства L . Точно так же доказывается, что L - подпространство и Pn есть прямая сумма подпространств L и L .

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

Наличие скалярного произведения позволяет выделить из множества всех линейных операторов, действующих в данном пространстве, ряд интересных классов. Рассмотрим наиболее распространенные из них - это сопряженные, самосопряженные и ортогональные операторы.

4.1. Оператор, сопряженный данному

Пусть E - пространство со скалярным произведением (евклидово или унитарное); A - линейный оператор, действующий в пространстве E .

Определение. Оператор A* , действующий в пространстве E , называется сопряженным к оператору A , если выполняется равенство

( Ax, y) = (x, A* y) x, y E .

Перейдем к изучению свойств сопряженного оператора. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Если в евклидовом или унитарном пространстве (x,u) = (x, v) для всех векторов x , то u = v .

Доказательство. Из равенства (x,u) = (x, v) вытекает, что (x,u) −(x, v) = 0 , или (x,u −v) = 0 при всех x . Тогда для x = u −v получим (u −v,u −v) = 0 , откуда u −v =θ , и u = v .■

Теорема 35. Оператор, сопряженный к линейному, является линейным оператором.

Доказательство. Пусть A : E → E - линейный опера-

тор и A* - сопряженный к A оператор. Докажем, что A* является линейным оператором; для этого проверим свойства аддитивности и однородности.

1) Для любых векторов y1, y2 E имеем

(x, A*( y1 + y2 )) = (Ax, y1 + y2 ) = ( Ax, y1) +( Ax, y2 ) =

= (x, A* y1) +(x, A* y2 ) = (x, A* y1 + A* y2 ) x E .

Откуда в силу леммы получаем, что

A*( y1 + y2 ) = A* y1 + A* y2 y1, y2 E .

Аддитивность оператора A* доказана.

2) Проверим свойство однородности. Для любого вектора y E и любого числа λ имеем

(x, A*(λy)) =(Ax,λy) =λ(Ax, y) =λ(x, A*y) =(x,λA*y) x E .

Откуда, в силу леммы A*(λy)) = λA* y .

Таким образом, в силу свойств 1 и 2 оператор A* является линейным. ■

Теорема 36. Для любого линейного оператора существует, и притом единственный, сопряженный оператор.

Доказательство. Докажем сначала единственность

сопряженного оператора. Предположим, что оператор A имеет два сопряженных A1* и A2* , т.е.

Докажем существование сопряженного оператора. Для этого перейдем к координатной записи.

Пусть e1,..., en - ортонормированный базис в пространстве E и Ae = (aij ) - матрица оператора A в этом базисе.

Рассмотрим оператор B , который в том же ортонорми-

рованном базисе e1,..., en задается матрицей Be = AeT , т.е. bij = a ji . Покажем, что оператор B является сопряженным к оператору A , т.е. проверим равенство

Покажем сначала, что равенство (22) выполняется на базисных векторах, т.е. проверим, что ( Aei , ek ) = (ei , Bek ) .

Преобразуем отдельно левую и правую части. В силу линей-

Покажем теперь, что равенство (22) верно для любых векторов x, y E . Раскладывая векторы x, y по базису про-

странства E , получим

Свойство 1. I* = I , где I - единичный оператор.

Доказательство. Для любых векторов x, y E верно

Свойство 2. ( A + B)* = A* + B*

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(A + B)* y) = (( A + B)x, y) = ( Ax + Bx, y) = ( Ax, y) +(Bx, y) = = (x, A* y) +(x, B* y) = (x, A* y + B* y) = (x,( A* + B*) y) .

Откуда в силу леммы ( A + B)* = A* + B* . ■

Свойство 3. (λA)* = λ A* для любого числа λ . В случае

евклидова пространства верно (λA)* = λA* .

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(λA)* y) = ((λA)x, y) = (λ Ax, y) =

= λ( Ax, y) = λ(x, A* y) = (x, λ A* y) .

Откуда в силу леммы (λA)* = λ A* . ■

Свойство 4. ( AB)* = B* A*

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(AB)* y) = (( AB)x, y) = ( A(Bx), y) = = (Bx, A* y) = (x, B*( A* y)) = (x,(B* A*) y) .

Откуда в силу леммы ( AB)* = B* A* . ■