Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

1.6.Сумма и пересечение подпространств. Теорема Грассмана

Введем операции, которые позволяют из данных подпространств некоторого линейного пространства L строить новые подпространства.

Пусть L1 и L2 - подпространства в L .

Определение. Суммой подпространств L1 и L2 назы-

вается множество, состоящее из векторов вида x1 + x2 , где x1 L1, x2 L2 , т.е.

скаляра λ .

Таким образом, операции сложения и умножения на скаляр не выводят из множества L1 + L2 , значит L1 + L2 явля-

ется подпространством. ■

Пример 19. Пусть L =V3 - пространство трехмерных геометрических векторов, L1 - ось Ox , L2 - ось Oy (здесь

координатные оси рассматриваются как множества всех лежащих на них векторов). Тогда

L1 + L2 ={u : u = x + y; x L1, y L2} ={u : u =αe1 + βe2},

т.е. L1 + L2 - это множество всевозможных линейных комбинаций базисных векторов e1 и e2 , а это вся координатная плоскость Oxy .

Пример 20. Пусть L =V3 , L1 - плоскость Oxy , L2 - плоскость Oxz . Тогда

L1 + L2 ={u : u = x + y; x L1, y L2} =

={u : u = (αe1 + βe2 ) +(γe1 +δe3 )} =

={u : u = µe1 + βe2 +δe3} =V3 = L ,

т.е. L1 + L2 совпадает с исходным линейным пространством.

L1 ∩L2 ={x L : x L1 и x L2} .

Как видно из определения, пересечение подпространств определяется как и пересечение произвольных множеств.

Теорема 5. Пересечение подпространств является подпространством.

Доказательство. Пусть L1 и L2 - два подпространства линейного пространства L . Пусть векторы x, y L1 ∩L2 , т.е. x, y L1 и x, y L2 . Так как L1 и L2 - подпространства, то в силу теоремы 2 (критерий быть подпространством) имеем:

Откуда вытекает, что x + y L1 ∩L2 и λx L1 ∩L2 . Следовательно, L1 ∩L2 - подпространство. ■

Пример 21. Пусть L =V3 , L1 = Oxy , L2 =Oxz . Тогда

L1 ∩L2 = Ox .

Теорема 6 (теорема Грассмана о размерности суммы подпространств). Пусть L1 и L2 - подпространства конеч-

номерного линейного пространства. Тогда

dim(L1 + L2 ) = dim L1 +dim L2 −dim(L1 ∩L2 ) .

Доказательство. В подпространстве L1 ∩L2 выберем

произвольный базис

e1, e2 ,..., er .

Так как пересечение L1 ∩L2 содержится как в L1 , так и в L2 ,

то этот базис можно дополнить до базиса подпространства L1 и до базиса подпространства L2 .

Пусть

является базисом подпространства L1 + L2 , т.е. докажем, что:

1)система векторов (4) линейно независима;

2)любой вектор x L1 + L2 можно записать в виде ли-

нейной комбинации системы векторов (4).

а значит, любой вектор x L1 + L2 линейно выражается через

векторы системы (4).

Осталось показать, что система векторов (4) линейно независима. Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов, равную нулю:

Докажем, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Из (5) получаем:

m

Замечаем, что вектор u = − ∑ γi gi из правой части равенст-

i=r+1

ва (6) принадлежит подпространству L2 , так как он записы-

вается в виде линейной комбинации векторов базиса L2 . Но

вместе с тем, равный ему вектор из левой части равенства (6) принадлежит L1 . Следовательно, u L1 ∩L2 , а значит, век-

тор u можно разложить по базису этого подпространства, т.е. по векторам e1, e2 ,..., er :

r

u= ∑αi′ei .

i=1

Приравнивая это представление вектора u к его представлению через векторы базиса L2 - см. правую часть равенства (6), получим:

или, перенося все слагаемые влево, имеем:

Но векторы e1,..., er , gr+1,..., gm образуют базис в L2 , и по-

этому линейно независимы. Следовательно, все коэффициенты в равенстве (7) должны быть равны нулю: αi′ = 0

( i =1, r ) и γi = 0 ( i = r +1, m ). Тогда равенство (5) примет вид:

Левая часть полученного равенства есть линейная комбинация векторов базиса L1 ; в силу линейной независимости этих

векторов получаем, что все αi = 0 ( i =1, r ) и все βi = 0 ( i = r +1, p ).

Таким образом, все коэффициенты линейной комбинации (5) оказались равны нулю. Следовательно, система векторов (4) линейно независима.

Итак, доказано, что система векторов (4) образует базис пространства L1 + L2 ; но число векторов базиса равно

размерности пространства, тогда

dim(L1 + L2 ) = p +m −r = dim L1 +dim L2 −dim(L1 ∩L2 ) . ■

1.7. Прямая сумма подпространств

Заметим, что в определении суммы L1 + L2 двух подпространств:

L1 + L2 ={x : x = x1 + x2; x1 L1, x2 L2}

вектор x может неоднозначно представляться в виде суммы x = x1 + x2 . Эта неоднозначность исчезает, если L1 и L2 пе-

ресекаются только по нулевому элементу. Перейдем к строгим формулировкам.

Определение. Сумма подпространств L1 и L2 назы-

вается прямой суммой, если представление любого вектора x L1 + L2 в виде x = x1 + x2 , где x1 L1, x2 L2 , единственно.

Прямая сумма обозначается L1 L2 .

Теорема 7. Сумма L1 + L2 является прямой тогда и

только тогда, когда L1 ∩L2 ={θ} .

Доказательство. 1) Пусть сумма подпространств L1 и

L2 - прямая. Покажем, что L1 ∩L2 ={θ} .

Рассмотрим элемент z L1 ∩L2 , тогда противоположный элемент −z L1 ∩L2 (так как L1 ∩L2 является подпро-

странством). Поэтому нулевой элемент θ L1 + L2 допускает два представления вида:

θ =θ +θ и θ = z +(−z) .

Отсюда в силу единственности представления любого вектора из L1 + L2 получаем, что z =θ , т.е. L1 ∩L2 ={θ} .

2) Докажем обратное. Пусть L1 ∩L2 ={θ} и элемент z L1 + L2 допускает два представления:

z = x1 + y1 и z = x2 + y2 , где x1, y1 L1 и x2 , y2 L2 .

Отсюда получаем, что x1 + y1 = x2 + y2 , или x1 − x2 = y2 − y1 . Причем вектор x1 − x2 L1, а вектор y2 − y1 L2 . Значит, оба вектора x1 − x2 и y2 − y1 принадлежат пересечению L1 ∩L2 .

Но L1 ∩L2 ={θ} ; следовательно, x1 − x2 =θ и y2 − y1 =θ , т.е. x1 = x2 и y1 = y2 .

Таким образом, представление вектора z в виде суммы единственно, и сумма L1 + L2 является прямой. ■

Замечание. Аналогично определяется прямая сумма любого конечного числа подпространств.

Пример 22. Пространство V3 трехмерных геометрических векторов является прямой суммой своих подпро-

Пример 24. Любое n -мерное пространство L с базисом e1, e2 ,..., en разлагается в прямую сумму одномерных подпространств

dim(L1 +L2) =dim L1 +dim L2 −dim(L1 ∩L2 ) =dim L1 +dim L2 .■

Следствие. Базис в пространстве L = L1 L2 получается как объединение базисов подпространств L1 и L2 .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.5-1.7

1.Сформулируйте определение подпространства линейного пространства.

2.Является ли подпространством линейного пространства

само ?

3.Докажите, что любое подпространство само является линейным пространством.

4.Сформулируйте определения суммы и пересечения подпространств.

5.Докажите, что если L1 и L2 - подпространства линейного

пространства L , то L1 ∩L2 также является подпространством.

6.Сформулируйте теорему Грассмана.

7.Сформулируйте определение и критерий прямой суммы подпространств.

8. Докажите, что множества функций

{ϕ C[a,b]:ϕ(a) = 0} и {ϕ C[a,b]:ϕ(a) =ϕ(b)}

образуют подпространства линейного пространства

C[a,b] .

9.Докажите, что множество векторов (x1, x2 , x3 ) 3 , удовлетворяющих условию x1 + x2 − x3 = 0 , образует подпро-

странство линейного пространства 3 . Покажите, что размерность этого подпространства равна двум.

принадлежит вектор x = (2,0, −1) .

12. Выясните, является ли подпространством данного линейного пространства L :

а) множество векторов, параллельных данной плоскости,

L = Pn (x) ;

в) множество симметричных квадратных матриц n -го порядка, L = Mn ( ) ;

13. Пусть L1 - пространство решений системы уравнений

x1 − x2 + x3 = 0 ;x1 −2x2 − x3 = 0

L2 - пространство решений системы уравнений

L3 - линейная оболочка системы векторов

(1,1, 2) , (1, 2, 2) , (2,3, 4) ;

L4 - линейная оболочка системы векторов

(0,1,1) , (1,1,1) , (1, 0, 0) .

Найдите базис пересечения и базис суммы каждой пары подпространств Li и Lj , где i, j =1, 2,3, 4 , i ≠ j . Какие

из этих сумм являются прямыми?