Материал: Алгебраические_уравнения

Как видно из таблицы, если коэффициент при неизвестной в уравнении = отличен от нуля, точка делит вещественную ось на два луча, на одном из которых уравнение превращается в неравенство > , на другом – < .

190 Пример 1. Решить неравенство ( 2 + −2)· < 2 +2 −3.

Решение:

1) 2 + − 2 < 0 ( − 1)( + 2) < 0 (−2; 1). При делении левой и правой частей неравенства на отрицательную величину, знак неравенства меняет направление:

2) 2 + − 2 = 0 = −2 или = 1. 2.1) = −2 0 · < −3. Нет решения. 2.2) = 1 0 · < 0. Нет решения.

3) 2 + − 2 > 0 ( − 1) · ( + 2) > 0 (−∞; −2) (1; +∞).

При делении левой и правой частей неравенства на положительную величину направление знака неравенства не меняется:

Ответ:

1)при = −2 и = 1.

2)( +1+3 ; +∞) при (−2; 1).

3)(−∞; +1+3 ) при (−∞; −2) (1; +∞).

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными + = . Если коэффициенты при неизвестных не равны одновременно нулю, уравнению соответствует прямая на плоскости

Для этого достаточно знать две точки на каждой прямой, например точки попарного пересечения прямых. Знание их координат позволит сделать график более информативным. К тому же нам представляется случай еще раз закрепить навыки решения систем линейных уравнений с двумя неиз-

Графики прямых 1, 2 и 3 изображены на рис. 5. Теперь, чтобы найти полуплоскость, на которой 6 + > 10, подставим в левую часть неравенства координаты любой не лежащей на прямой 6 + = 10 точки. Мы подставим координаты точки (0; 0). Неравенство не выполняется, значит,

6 + < 10 по другую сторону прямой 1, на графике по правую сторону. Аналогичная подстановка показывает, что неравенство + < 5 выполняется для точек, лежащих

Рис. 5. Треугольник ABC

слева от прямой 2, а неравенство 3 − 2 < 10 – для точек, расположенных левее прямой 3 − 2 = 10. Поскольку нас интересует геометрическое место точек, для которых выполняются одновременно три неравенства, решением системы будет множество пар ( ; ), являющихся координатами точек, принадлежащих одновременно всем трем рассмотренным полуплоскостям.

Ответ: решением будет множество точек треугольника , включая границу, поскольку все неравенства нестрогие.

Пример 3. Допустим, наше предприятие может выпускать 191

два пользующихся спросом на рынке изделия и , для производства которых требуются три вида ресурсов: токарный станок, фрезерный станок и сварочная аппаратура. По

договору аренды, в этом квартале мы располагаем 800 часами рабочего времени токарного станка, 700 – фрезерного и 640 часами сварочной аппаратуры. Для производства одной партии изделия требуется 8 часов времени токарного станка, 3 – фрезерного и 8 часов сварочной аппаратуры. Для производства партии изделия те же ресурсы нужны в объемах 10, 10 и 5 соответственно. Изделие можно реализовать на рынке по цене 30 тысяч рублей за партию, изделие – 60 тысяч рублей за партию. Требуется составить план производства изделий и , при котором доход с продаж будет максимальным. Иными словами, перед нами стоит вопрос: в каком объеме мы должны производить каждое изделие?

Решение. Оформим условия задачи в виде таблицы:

Обозначим количество партий изделий и переменными

и соответственно, тогда каждому реальному производственному плану будет соответствовать точка на плоскости с координатами ( ; ) (рис. 6). На производство партий изделия уйдет 8 часов работы токарного станка, а на производство партий изделия – 10 часов. Значит, для