Материал: Алгебраические_уравнения

но. Но нас сейчас будет интересовать алгоритм решения систем линейных уравнений именно «вручную». Настоящий специалист должен не только правильно поставить задачу для персонального компьютера, но и понимать суть применяемых алгоритмов. Более того, без глубокого понимания алгоритмов трудно грамотно поставить задачу.

Пусть количество уравнений равно количеству неизвестных и равно . Такие системы в дальнейшем будем называть

системами линейных уравнений n-го порядка. Для их решения в 1750 г. швейцарским математиком Крамером был предложен метод, основанный на понятии определителя произвольного порядка. Фактически метод Крамера

является эффективным только при решении систем второго и третьего порядков. Для решения уравнений выше третьего порядка обычно применяют метод Гаусса, а уравнения третьего порядка решают как методом Крамера, так и методом Гаусса. Линейному уравнению с тремя неизвестными

+ + = соответствует плоскость в трехмерном пространстве. Системе трех уравнений – три плоскости. В зависимости от их взаимного расположения, плоскости могут иметь бесконечное множество общих точек, вообще не иметь общих точек или иметь одну единственную.

Любая из следующих трех операций приводит к системе, эквивалентной исходной:

1)перестановка двух уравнений в системе;

2)умножение уравнения на отличное от нуля число;

3)прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число.

Из возможности умножения уравнения на число следует и возможность деления, поскольку деление может рассматриваться как умножение на обратное число. Для начала будем исходить из того, что решение существует и единственно.

с тремя неизвестными

Прежде всего договоримся о новой символике. Удачно вы-

бранная символика может существенно упростить ход ре-

шения задачи. Запишем систему (4) в виде

Такой объект называют расширенной матрицей. Расши-

ренная матрица несет в себе всю информацию о системе

уравнений в том смысле, что по ней можно восстановить по-

следнюю. Первый столбец – столбец коэффициентов при ,

второй – при , третий – при . После вертикальной чер-

ты идет столбец свободных членов, т. е. «правых частей»

уравнений. Трем перечисленным выше операциям над си-

стемой уравнений соответствуют три операции над расши-

ренной матрицей: перестановка строк; умножение строки на

отличное от нуля число; прибавление к одной строке другой,

умноженной число. Далее нам предстоит посредством трех

перечисленных выше операций привести матрицу к диаго-

нальному виду, то есть такому, когда по главной диаго-

нали располагаются только единицы, а все остальные коэф-

фициенты до вертикальной черты – нули. В этом и состоит

метод Гаусса.

Решение:

Ответ: (2; −3; −1).

Диагональ из единичек, выстроенную с «северо-запада» на

«юго-восток», называют главной диагональю. Мы могли вы-

полнить преобразования непосредственно с системой урав-

нений, но, согласитесь, запись оказалась бы длинновата.

Разберем алгоритм по шагам. Как вы, наверно, заметили,

номера шагов в записи хода решения проставлены над со-

ответствующими стрелочками.

1)Из второй строки вычьтем первую; из третьей – первую, умноженную на 3. Теперь первые элементы во второй и третьей строке равны 0.

2)Из третьей строки вычьтем вторую, умноженную на 4.

3)Делим третью строку на (−8).

4)Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2. Из первой вычьтем третью, умноженную на 5.

5)Делим вторую строку на (−3).

6)Из первой строки вычьтем вторую, умноженную на 2. Получаем диагональную матрицу, на главной диагонали кото-

рой расположены только единицы, а все остальные элементы – нули.

7) По расширенной матрице восстановим традиционную запись системы уравнений.

Если бы задача решалась на компьютере, когда уравнений много, а их коэффициенты в общем случае не целые вещественные числа, схема вычислений выглядела бы несколько иначе, поскольку машине, в отличие от человека, все равно, с какими числами работать. Также в технических приложениях часто актуален вопрос о точности вычислений. Если, скажем, первый элемент в первой строке – очень малое число, при делении на него может произойти потеря точности. Проиллюстрируем процесс решения системы уравнений на компьютере. Для краткости обозначим символом «*» произвольное число. Тогда последовательность шагов можно описать следующим образом:

1.Ставим на первое место строку, первый элемент которой имеет наибольшее по модулю значение. Делим первую строку на ее первый элемент. Теперь значение первого элемента первой строки – 1.

2.От каждой из нижерасположенных строк отнимаем певую, умноженную на первый элемент соответствующей строки. Таким образом, под первым элементом первой строки окажутся только нулевые значения.