Материал: Алгебраические_уравнения

Рис. 6. Область производственных возможностей

выполнения плана ( ; ) потребуется 8 + 10 часов работы токарного станка, при этом мы не можем затратить более 800 часов. Таким образом, должно выполняться неравенство 8 + 10 ≤ 800. Учитывая также естественные ограничения ≥ 0 и ≥ 0, изобразим на плоскости область наших производственных возможностей, геометрическое место всех пар ( ; ), которые реально можно произвести, если

единственным ограничением является рабочее время токар-

ного станка. Эта область представлена на рис. 6а. На графи-

ке прямая 8 +10 = 800 обозначена 1. Аналогично ограни-

чения, связанные с арендой фрезерного станка, выразятся

неравенством 3 + 10 ≤ 700, и область производственных

возможностей сузится до изображенной на рис. 6б. Прямая

3 + 10 = 700 обозначена на графике 2. Наконец, ограниченность последнего ресурса означает 8 + 5 ≤ 640 и об-

ласть производственных возможностей примет окончатель-

ный вид (рис. 6в). Это множество всех пар ( ; ), которые

мы в состоянии произвести. Таким образом, область произ-

водственных возможностей задана системой неравенств

8 · + 10 · ≤ 800;

3 · + 10 · ≤ 700;

8 · + 5 · ≤ 640;

≥ 0;

≥ 0.

Осталось решить, какой производственный план будет оп-

тимальным? В соответствии с условиями задачи, партий

изделия дадут доход с продаж 30 , а партий изделия

– 60 тысяч рублей. Итого: 30 + 60 . Пусть – доход с

продаж, тогда решениями уравнения 30 + 60 = при соблюдении известных ограничений будут все пары ( ; ), дающие доход . Например, доход 2 миллиона 400 тысяч рублей можно получить, приняв план, соответствующий точкам (0; 40) или (80; 0), а также любой другой точке, лежащей на отрезке , т. е. на пересечении прямой

30 + 60 = 2400 с областью производственных возможностей. Но, вероятно, это неоптимальные планы. Если мы переместим прямую вверх параллельно самой себе, то новой прямой будет соответствовать большее значение . Так, если прямая 30 + 60 = пройдет через точку (0; 60) на оси , доход составит 3 миллиона 600 тысяч рублей. Однако мы не можем поднять прямую на любую высоту. Мы можем двигать ее вверх параллельно самой себе до тех пор, пока она имеет общие точки с областью производственных возможностей. Таким образом, мы остановимся тогда, когда прямая 30 + 60 = пройдет через точку . Найдем ее координаты:

Тогда доход с продаж: 30 · 20 + 60 · 64 = 4440.

Ответ: оптимальный план выпуска – 20 партий изделия и 64 партии изделия . Доход с продаж при этом составит

4 миллиона 440 тысяч рублей.

Задача на оптимизацию, которую мы сейчас рассмотрели, относится к классу задач линейного программирования. Этот раздел математики появился в 30-х годах XX века после выхода статьи Леонида Витальевича Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». В линейном программировании предполагается наличие линейной целевой функции и линейных ограничений. Задача о Леше и Гоше (с. 23) также является задачей линейного программирования. Когда для достижения максимума или минимума целевой функции мы варьируем только двумя переменными, задача имеет простую геометрическую интерпретацию. В случае трех переменных областью производственных возможностей стал бы многогранник в трехмерном пространстве. Рисовать трехмерные чертежи не каждому по силам. В случае еще большего числа переменных нам пришлось бы выйти в многомерное пространство. Например, если бы в последнем примере наше предприятие могло производить 10 видов изделий, задачу пришлось бы решать в 10-мерном пространстве на некотором гипермногограннике, а двигать пришлось бы не прямую, а 9-мерную гиперплоскость. Здесь придется отказаться от наглядности и привлечь аппарат линейной алгебры.

Задачи к параграфу на с. 190, п. 5–7.

Глава 2. Уравнения второго порядка

§ 2.1. Основные алгебраические тождества

45 59 В представленной ниже таблице сформулированы

основные свойства операций сложения и умножения веще-

ственных чисел.

При решении уравнений и неравенств трудно избежать тождественных преобразований. Смысл тождественного преобразования состоит в замене одного выражения другим, тождественным исходному. Выражение тождественно исходному, если при любом наборе значений входящих в него переменных оно принимает то же значение, что и исходное. Основные алгебраические тождества выводятся непо-