Материал: Алгебраические_уравнения

3.Среди строк, начиная со второй, найдем ту, у которой второй элемент имеет наибольшее по модулю значение. Поставим эту строку на второе место и разделим на ее второй элемент.

4.От каждой строки, начиная с третьей, отнимаем вторую, умноженную на второй элемент соответствующей строки. Таким образом, под вторым элементом второй строки также окажутся одни нули.

Продолжая так дальше, мы придем к матрице, на главной диагонали которой стоят единицы, а под диагональю – нули. Разумеется, договоренность о том, что уравнение имеет единственное решение, пока остается в силе.

Теперь пойдем снизу вверх. От каждой строки, расположенной выше последней, отнимем последную, умноженную на последний элемент соответствующей строки. Имеется в виду последний элемент из расположенных слева от вертикальной черты. Теперь над единицей внизу расположены только нули. Поскольку все остальные, расположенные слева, элементы первой строки равны нулю, указанная процедура «не испортит» остальные элементы матрицы, расположенные левее. Далее от всех строк, которые выше второй, отнимаем вторую строку, умноженную на предпоследний элемент. Продолжая так, мы придем к матрице, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные до вертикальной черты – нули.

Задача решена. Вычислительный процесс, на первый взгляд,

не вызывает затруднений. Однако, как показывает практи-

ка, чтобы научиться выполнять его без ошибок, надо потру-

диться. Результаты желательно проверять подстановкой.

Ошибки делают все – от младшего школьника до академи-

ка! Только не все умеют вовремя их обнаружить.

До сих пор мы исходили из того, что решение существует и

единственно. Но так бывает невсегда.

+ 2 + 5 = −9;

− + 3 = 2;

2 + + 8 = −7.

После первого шага у нас оказались две эквивалентные строки, одну из них мы убрали. На третьем шаге перенесли столбец коэффициентов при в правую часть. Привели левую часть матрицы к диагональному виду при помощи все тех же трех простых операций, после чего осталось только записать ответ. Решения образуют бесконечное множество. В пространстве ему соответствует прямая, по которой пересекаются две плоскости.

Ответ: система не имеет решения.

Последним двум строкам соответствуют две параллельные плоскости, которые не могут иметь общих точек:

−3 − 2 = 11;

−3 − 2 = 8.

Поскольку с системами линейных уравнений приходится стал-

киваться довольно часто, желательно довести навыки их решения «до подкорки». Нужное количество заданий вы найдете в любом сборнике задач по линейной алгебре.

§ 1.5. Неравенства

35 55 Объединим в одной таблице схемы решения линейных неравенств с рассмотренной нами на с. 19 схемой

решения соответствующего уравнения.