Материал: Алгебраические_уравнения

Выражение в правой части последнего равенства не может равняться нулю, если 2 − 4 < 0, т. е. когда в квадратных

Величину = 2 − 4 называют дискриминантом квадратного трехчлена. При = 0 корни совпадут.

Пример 2. Найти корни квадратного трехчлена 2 2+2 +3. 192

Решение. = 4 − 4 · 2 · 3 = −20 < 0.

Ответ: Вещественных корней не существует.

192 Пример 3. Найти корни квадратного трехчлена 4 2−4 +1.

Решение. = 16 − 4 · 4 · 1 = 0. Трехчлен имеет два совпадающих вещественных корня 1,2 = 12 .

Ответ: два совпадающих корня 12 .

192 Пример 4. Найти корни квадратного трехчлена 2 2 + −6.

Решение. = 1 − 4 · 2 · (−6) = 49. Трехчлен имеет два вещественных корня

Ответ: −2 и 32 .

Хотя поиск корней квадратного трехчлена осуществляется по алгоритму и не является творческим процессом, полезно знать ряд приемов, позволяющих иногда упростить эту и без того простую задачу. Ведь именно на мелочах можно выиграть немало ценного времени. Если коэффициент при

в выражении 2 + + = 0 является целым четным числом = 2 , то уравнение принимает вид 2 + 2 + = 0,

дискриминант = 4 2 −4 = 4( 2 − ). Если ≥ 0, суще-

√

ствуют корни 1,2 = 2 ±2 2− . Числитель и знаменатель

2

последней дроби сократим на 2. Теперь корни квадратного трехчлена вида 2 + 2 + = 0 находятся следующим образом:

1) определим /4 = 2 − ; √

2) если /4 < 0, решений нет; иначе 1,2 = ± 2− .

Ответ: −4 и 23 .

Если мы применим обычную формулу, придется иметь дело с дискриминантом, равным 196. Может показаться, что выигрыш не так уж велик, но школьные задачи ориентированы на расчеты «вручную», и потому обычно коэффициенты в квадратных трехчленах – целые числа, а значит, примерно в половине случаев коэффициент при – четное число. Если при этом дискриминант большой, время вычислений сокращается в разы.

Пусть теперь коэффициент при 2 равен единице. Если трехчлен 2 + + имеет вещественные корни 1 и 2, он раскладывается в произведение двух линейных членов:

2 + + = ( − 1) · ( − 2) = 2 − ( 1 + 2) · + 1 2.

Таким образом, коэффициенты квадратного трехчлена и его

корни связаны соотношениями, которые являются частным

случаем теоремы Виета:

1 + 2 = − ;

1 2 = .

Последние соотношения во многих случаях и при должном навыке позволяют легко угадывать корни. Например,

2 − 5 + 6. Можно угадать, что два числа, сумма которых равна 5, а произведение 6, – это 2 и 3. Если дан квадратный трехчлен 2 + −2, то сумма корней равна (−1), а произведение (−2). Можно угадать корни: (−2) и 1. Если свободный член отрицателен, корни имеют разные знаки. Корни ищем среди делителей свободного члена. Таким образом, если целых корней нет – нам не повезло.

Упражнения. Опираясь на теорему Виета, угадайте корни следующих трехчленов:

Результаты обязательно проверьте подстановкой. Если вы выполнили все задания, то должны заметить, что навык развивается очень быстро.

192 Пример 6. Решить уравнение с параметром

( 2 + − 2) 2 + (2 2 + + 3) + 2 − 1 = 0.

Решение:

1) 2 + −2 = 0 при = −2 или = 1. Уравнение становится

линейным.

1.1) При = −2 уравнение принимает вид

9 + 3 = 0 = −13 .

1.2) При = 1 уравнение принимает вид 6 = 0 = 0.

2) При ̸= −2 и ̸= 1

= ( 2 + + 3)2 − 4 · ( 2 − 1)( 2 + − 2) = = 25 2 + 10 + 1 = (5 )2 + 2 · 5 + 1 = (5 + 1)2 ≥ 0.

Значит, вещественные корни существуют при любом .

Однако |5 + 1| фигурирует в формулах со знаком «±», поэтому всегда рассматриваются оба случая: «+» и «−».

Ответ:

1)= −13 при = −2.

2)0 при = 1.