Материал: Алгебраические_уравнения
66 |
|
|
|
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
||
|
1 = |
|
+1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
2 |
= − +2− |
|
|||
|
|
|
− |
1 |
|
|
3) |
|
−1 |
иначе. |
|||
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
||
Причем при = |
1 оба корня совпадают. |
|||||
Квадратный трехчлен может быть правой частью не толь-
ко уравнения, но и неравенства. Вернемся к рис. 7 и 8 (с. 60). Если дискриминант меньше нуля, квадратный трехчлен имеет постоянный знак на всей вещественной оси, который совпадает со знаком коэффициента при квадрате переменной. Если дискриминант равен нулю, то в одной точке трехчлен обращается в ноль, в остальных точно также сохраняет постоянный знак. Наконец, если дискриминант больше нуля, трехчлен имеет два корня, которые делят вещественную ось на три промежутка знакопостоянства (см. рис. 7 и 8).
192 Пример 7. Решить неравенство 2 2 + 3 − 2 ≥ 0.
Решение. Квадратный трехчлен имеет корни 1 = −2 и
2 = 12 , которые делят вещественную ось на три промежутка знакопостоянства (рис. 9). Знаки чередуются, поэтому
Рис. 9. Промежутки знакопостоянства
достаточно определить знак ( ) = 2 2 + 3 − 2 на одном интервале. (0) < 0. Значит, на интервале (−2; 12 ) выражение ( ) < 0. Тогда на интервалах (−∞; −2) и (−12 ; +∞),
§ 2.2. Квадратный трехчлен |
67 |
наоборот, ( ) > 0. Мы ищем множество значений , для |
|
которых ( ) ≥ 0. |
|
Ответ: (−∞; −2] [21 ; +∞). |
|
Если говорить об уравнениях и неравенствах с параметром, |
|
для их решения иногда необходимо провести небольшое ис- |
|
следование. Рассмотрим на примере уже решенного нами |
|
уравнения (с. 64) один когда-то «модный» на вступитель- |
|
ных экзаменах класс задач. |
|
Пример 8. При каких значениях параметра уравнение |
192 |
( 2 + − 2) 2 + (2 2 + + 3) + 2 − 1 = 0
имеет два корня 1 и 2, таких, что 1 < 1 < 2?
Решение. Пусть ( ) = 2 + + – произвольный квадратный трехчлен. Определим необходимые и достаточные условия существования двух его корней, расположенных по разные стороны от заданного числа , т. е. 1 < < 2. Как видно на рис. 10, это возможно в двух случаях: > 0 и
( ) < 0 (график слева); < 0 и ( ) > 0 (график справа). То есть корни лежат по разные стороны от тогда и только
Рис. 10. Корни расположены по разные стороны от заданного числа
68 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
тогда, когда · ( ) < 0, иначе говоря, когда коэффициент при 2 и значение ( ) в точке, разделяющей корни, имеют разные знаки. В нашем примере = 1 и
(1) = 2 + −2 + 2 2 + + 3 + 2 −1 = 4 2 + 2 = 2 (2 + 1).
Коэффициент при 2 – это 2 + − 2. Значит, должно выполняться условие
2 (2 + 1)( 2 + − 2) < 0, т. е. (2 + 1)( + 2)( − 1) < 0. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −2; −12 ; 0; 1, разбивающих вещественную ось на пять промежутков знакопостоянства, как показано на рис. 11. Определим знак на одном из интервалов, например послед-
Рис. 11. Промежутки знакопостоянства
нем, подставив вместо очень большое вещественное число. На интервале (1; +∞) выражение принимает знак «+». Расставим знаки в остальных интервалах по принципу чередования. Интересующее нас неравенство выполняется на интервалах (−2; −0, 5) и (0; 1).
Ответ: при (−2; −0, 5) (0; 1).
Теперь рассмотрим квадратное неравенство с параметром. Это уже довольно серьезная работа, но именна та, которой
§ 2.2. Квадратный трехчлен |
69 |
|
|
занимается настоящий инженер или экономист, – исследо- |
|||
вание зависимости решений от меняющихся параметров. |
|
|
|
Пример 9. Решить неравенство с параметром |
|
|
|
|
|
192 |
|
( 2 − 1) 2 + 2( − 1) + 1 > 0.
Решение. Найдем дискриминант
= 4 2 −8 +4−4 2 +4 = −8( −1) и классифицируем возможные исходы в зависимости от значения старшего члена. 1) В случае нулевого старшего члена неравенство перестает быть квадратным: 2 − 1 = 0 = ±1.
1.1) При = −1 неравенство принимает вид утверждения
−4 + 1 > 0 (−∞; 0, 25).
1.2) При = 1 получим 1 > 0, что справедливо при любом
(−∞; +∞).
2) Рассмотрим случай, когда старший член отрицателен, т. е. когда ветви параболы направлены вниз:
2 − 1 < 0 ( + 1)( − 1) < 0 (−1; 1). Здесь в свою очередь классифицируем возможные исходы в зависимости от значения дискриминанта.
2.1) < 0 > 1.
Эти значения не попадают в интервал (−1; 1).
2.2) = 0 = 1. Это значение также не попадает в рассматриваемый интервал.
2.3) > 0 < 1 (−1; 1). На этом интервале
70 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
||||||
квадратный трехчлен имеет два вещественных корня: |
|||||||
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
2 = |
−2 + 2 + −8 + 8 |
|
< 1 = |
−2 + 2 − −8 + 8 |
. |
||
2 · ( 2 − 1) |
|
||||||
|
|
2 · ( 2 − 1) |
|||||
Сократив числитель и знаменатель дробей на 2, получим:
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
2 = |
− + 1 + −2 + 2 |
< 1 = |
|
− + 1 − −2 + 2 |
. |
|||||||
|
2 − 1 |
|
|
|
|
|
2 − 1 |
|||||
Поскольку − + 1 − |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|||||
−2 + 2 < |
− + 1 + −2 + 2, но |
|||||||||||
2 − 1 < 0, а при делении на отрицательную величину знак неравенства меняет направление, 2 < 1. Ветви параболы направлены вниз, и > 0 (как на рис. 8в). Следовательно, квадратный трехчлен больше нуля на интервале ( 2; 1).
3) Положительный старший член:
2 − 1 > 0 (−∞; −1) (1; +∞). Снова рассмотрим все возможные значения дискриминанта.
3.1) < 0 > 1 (1; +∞). Это случай, когда весь график параболы лежит выше оси . Решением будет все множество вещественных числел: (−∞; +∞).
3.2) = 0 = 1. Это значение не входит в рассматриваемую область значений.
3.3) > 0 < 1 (−∞; −1). Поскольку ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен больше нуля при значениях (−∞; 1) ( 2; +∞) (как на рис. 7в). Мы также учли, что на рассматриваемом интервале 2 − 1 > 0,