Материал: Алгебраические_уравнения

а значит, 1 < 2.

Теперь нам предстоит собрать все результаты, полученные на ветвях дерева, отражающего произведенный нами перебор вариантов, в Ответ: При этом вовсе не обязательно придерживаться той же нумерации пунктов. Ответ – это результат, и его следует формулировать четко и просто.

Ответ:

1)(−∞; 1) ( 2; +∞) при (−∞; −1);

2)(−∞; 0, 25) при = −1;

3)( 2; 1) при (−1; 1);

4)при [1; +∞),

В четвертом пункте ответа мы объединили результаты двух пунктов решения: 1.2 и 3.1. То есть как при = 1, так и при

(1; +∞) множество решений – . Проанализируем полученный результат. Выражение в левой части исследуемого неравенства есть функция двух переменных и :

( , ) = ( 2 − 1) · 2 + 2 · ( − 1) · + 1.

Тогда уравнение = ( , ) задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве (рис. 12). Условия задачи теперь можно сформулировать так: при каких значениях иповерхность лежит выше плоскости ? Значение функ-

Рис. 12. Поверхность = ( , )

ции ( , ) можно интерпретировать как высоту над уровнем моря в точке с координатами ( ; ). Трехмерный график поверхности не всегда достаточно информативен, поэтому в математике часто для изображения поверхностей применяют линии уровня, хорошо знакомые нам по географическим картам. Для нашей поверхности линии уровня изображены на рис. 13а. Каждой линии соответствует некоторое фиксированное значение ( , ) = – «высота над уровнем моря». Кривая, помеченная числом 0, – «берег моря». По этому графику вы легко можете установить части поверхности, расположенные выше «уровня моря». График кривой

( , ) = 0, т. е. «линии берега», мы разместили отдельно на рис. 13б. Осталось только раскрасить карту (рис. 14). Итак, в соответствии с ответом, на интервале (−∞; −1) «су-

Рис. 13. Линии уровня (а); нулевая линия уровня (б)

ша» располагается по обе стороны от 1; 2, на интервале

(−1; −1) – по разные стороны от 1; 2, а при [1; +∞)

– «суша, и ничего, кроме суши». Корни квадратного трехчлена являются функциями параметра :

Традиционно на графике ось абсцисс отводят аргументам,

Рис. 14. Области знакопостоянства

а ось ординат – функциям, но не запрещено поступать и наоборот. Мы только что записали уравнения «линий берега». Рассмотрим их ассимптоты. Одна ассимптота имеет уравнение = 1 и, как зафиксировано в ответе, целиком «принадлежит суше». Берег может приближаться к ней сколь угодно близко, но никогда не достичь ее. На языке высшей математики это означает, что для пределов снизу (слева) функций 1( ) и 2( ) выполняются равенства:

√

в обоих случаях стремится к 1 слева (на нашем графике

«снизу», но все равно принято говорить «слева» в смысле положения величин на своей вещественной оси). Пределы справа мы не можем рассмотреть, поскольку при > 1

функции 1( ) и 2( ) не определены. Другая ассимптота

– прямая = −1, она заслуживает отдельного рассмотрения. При = −1 обе «линии берега» имеют разрыв. Причем для 1( ) разрыв устранимый, поскольку существует общий предел, т. е. пределы слева и справа совпадают:

√

Для устранения разрыва достаточно доопределить функцию в точке разрыва 1(−1) = 0, 25. В выражении для 2( )

числитель при → −1 – конечная положительная величина, а знаменатель стремится к нулю. При этом знак знаменателя зависит от того, как стремится к единице : слева или справа. Таким образом,

Мы сознательно не приводим выкладки для нахождения пределов, чтобы не отвлекаться от задачи. К тому же в трех случаях мы использовали правило Лопиталя, которое обычно в курсе математики средней школы не изучается. Итак, при переходе через точку = −1 меняется от-