Материал: Алгебраические_уравнения
76 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
носительное положение 1( ) и 2( ) на вещественной оси: до этой точки 1( ) < 2( ), после нее 2( ) < 1( ). Таким образом, «линии берега» 1( ) и 2( ) ограничивают область, на которой ( , ) > 0 (см. рис. 14), но сами в решение не входят. Если бы неравенство было нестрогим
( , ) ≥ 0, граница вошла бы в решение.
При исследовании неравенства мы сделали больше, чем обычно требуется от школьника. В частности, приведенные выше графики трудно построить без соответствующих программных средств. Мы просто хотели проиллюстрировать пример. Провести все исследование, не сделав ни одной ошибки, очень трудно, поэтому в конечном итоге успех дела зависит от того, как быстро вы умеете находить ошибки. Для закрепления пройденного материала попробуйте решить то же неравенство, считая величину неизвестной, а – параметром:
( 2 − 1) · 2 + 2 · ( − 1) · + 1 > 0.
После того как мы раскроем скобки в левой части неравенства и произведем группировку по степеням , задачу можно сформулировать так: решить неравенство
· 2 + 2 · − ( − 1)2 > 0,
§ 2.2. Квадратный трехчлен |
77 |
где – неизвестная величина, – параметр. Интересно, |
|
что решение опять отлично будет иллюстрировать рис. 14 |
|
(с. 74). Рассмотрим еще один пример. |
|
Пример 10. Решить неравенство с параметром |
192 |
2 + 2 + 1 > 0.
Решение:
1)= 0 2 + 1 > 0 (−0, 5; +∞);
2)̸= 0. Найдем дискриминант = 4(1 − ).
2.1) < 0 > 1. Поскольку дискриминант меньше нуля
и ветви параболы направлены вверх, как на рис. 7а (с. 60), множество решений – .
2.2) > 0 1 − > 0 (−∞; ) (0; 1).
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
Корни: 1 = |
−1 − |
|
1 − |
|
и 2 = |
−1 + |
|
1 − |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
2.2.1) (−∞; 0) 2 < 1, и ветви параболы направлены вниз, как на рис. 8в (с. 60).
√√
( )
−1 + 1 − ; −1 − 1 − .
2.2.2) (0; 1). Положение параболы, как на рис. 7в (с. 60).
√ √
( ) ( )
−∞; −1 − 1 − −1 + 1 − ; +∞ .
78 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
2.3) = 0 = 1. Квадратный трехчлен принимает вид2 + 2 + 1 = ( + 1)2, а ( + 1)2 > 0 при всех значениях , кроме = −1, т. е. (−∞; −1) (−1; +∞).
Ответ:
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( 0 5; |
+ |
|
) |
|
|
|
) = 0 |
|
(−∞; 0); |
|
||||||
1) |
−1+ |
1− ; −1− |
1− |
|
при |
|
|||||||||||
2) |
− |
, |
|
∞ |
|
|
при |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
3) |
(−∞; −1− |
|
1− |
) |
( |
−1+ |
1− |
; +∞) |
при |
(0; 1); |
|||||||
4)(−∞; −1) (−1; +∞) при = 1;
5)при (1; +∞).
Данных в ответе достаточно, чтобы в первом приближении построить график, как на рис. 14 (с. 74), но мы предпочли сначала найти ряд пределов. Серая область на рис. 15
– множество пар ( ; ), для которых выполняется неравенство 2 + 2 + 1 > 0. Граница не входит в решение. При построении графиков мы опирались на пределы
Рис. 15. Области знакопостоянства
§ 2.2. Квадратный трехчлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|||||||
|
−1 + √ |
|
= |
|
|
|
|
|
−1 − √ |
|
|
|
|
|
|
||
lim |
1 − |
1 |
lim |
|
1 − |
= + . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
−2 и |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
Хотя функции параметра 1 |
( ) = |
−1− 1− |
и 2 |
( ) |
−1+ |
1− |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ограничивающие интервал значений в первом пункте ответа, не определены при = 0, в пределе они переходят в границы интервала второго пункта ответа. Обратите внимание, что во втором пределе стремится к нулю слева. Аналогично при , стремящемся к нулю справа,
√
lim −1 − 1 − = −∞,
→0+0
и первый интервал области значений из третьего пункта в пределе «убегает в минус бесконечность», а второй переходит в интервал из второго пункта ответа. Также следует обратить внимание на то, что в ходе исследования неравенства установлено: < 0 2 < 1 и > 0 1 < 2. И
наконец,
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
lim |
−1 + |
1 − |
= lim |
−1 − |
|
1 − |
= 0. |
|
|
|
|
||||
→−∞ |
|
→−∞ |
|
||||
Таким образом, при построении графика мы опирались не только на зафиксированную в ответе информацию, но также на
найденные предельные значения. |
|
Задачи к параграфу на с. 192, п. 8–11. |
|
80 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными
59 84 В этом разделе мы можем немного расслабиться. Теория уравнений второго порядка с двумя неизвестными сейчас нас интересует только на описательном уровне. В общем виде уравнение можно записать так:
11 2 + 22 2 + 2 12 + 1 + 2 + 0 = 0. |
(5) |
Разумеется, здесь 11, 22 и 12 не должны одновременно равняться нулю, иначе мы получим линейное уравнение. Кривые, заданные уравнениями второго порядка, называют кривыми второго порядка, или коническими сечениями. Одной и той же кривой могут соответствовать разные уравнения в зависимости от ее положения в принятой системе координат. Различают три основных типа конических сечений: эллипсы, гиперболы и параболы (рис. 16). Кроме основных конических сечений, существуют еще и вы-
Рис. 16. Конические сечения: а) эллипс, б) гипербола, в) парабола
рожденные случаи: прямая, пара пересекающихся прямых