Материал: Алгебраические_уравнения

имеют четыре точки пересечения. Убедимся в этом, решив систему аналитически:

= 24.

Напомним, что между утверждениями, охваченными квадратной скобкой, подразумевается «логическое ИЛИ». Таким образом, решением исходной системы уравнений будет объединение решений двух систем, заключенных в квадратную скобку. Составим для обеих систем соответствующие квадратные уравнения:

1) 2 + 10 + 24 = 0 1,2 = −5 ± 1

При решении систем трех уравнений с тремя неизвестными, входящими в симметричные формы, иногда приходит на помощь теорема Виета. Для случая многочлена третьей степени она звучит так: если многочлен

3 + 2 + +

имеет три вещественных корня 1, 2, 3, для его коэффициентов справедливы равенства

= −( 1 + 2 + 3);

= 1 2 + 1 3 + 2 3;

= − 1 2 3.

Чтобы убедиться в последнем, достаточно раскрыть скобки в разложении многочлена на линейные множители и приве-

сти подобные:

( − 1)( − 2)( − 3) = = 3 − ( 1 + 2 + 3) 2 + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) − 1 2 3.

+ + = 6;

+ + = 11;

= 6.

Решение. По теореме Виета, неизвестные , , должны

быть корнями многочлена 3 − 6 2 + 11 − 6. Для нахождения корней многочлена угадаем один из корней = 1, разделим многочлен на ( − 1), и тогда задача сведется к нахождению корней квадратного трехчлена, как в примере

= 6.

Решение. Из тождества на с. 57 следует:

2 + 2 + 2 = ( + + )2 − 2( + + ).

Последнюю систему мы решили в предыдущем примере.

Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1). В расмотренных выше примерах присутствовали уравнения второго порядка с тремя неизвестными. Геометрический смысл таких уравнений будет раскрыт на с. 99.

Задачи к параграфу на с. 193, п. 12–15.

§ 2.5. Однородные многочлены

84 99 Функция нескольких переменных ( , , , . . .) называется однородной порядка n, если для любого вещественного числа > 0 выполняется равенство

( , , , . . .) = · ( , , , . . .).

Иногда также требуют, чтобы число было целым. Напри-

√

мер, ( , ) = − 3 + 3 – однородная функция вто-

рого порядка, так как

Для многочленов требование > 0 можно заменить на

̸= 0. Тогда однородным многочленом порядка n

мы будем называть многочлен от нескольких переменных

( , , , . . .), такой, что для любого вещественного выполняется равенство ( , , , . . .) = ( , , , . . .). Однородный многочлен порядка определяют и как сумму моночленов порядка . Тогда однородный многочлен второго порядка от двух переменных и должен иметь вид

11 2 + 2 12 + 22 2. Уравнение 11 2 + 2 12 + 22 2 = 0

всегда имеет тривиальное решение: = 0; = 0. Если коэффициенты при 2 и 2 отличны от нуля, то = 0 = 0

и = 0 = 0.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 192

2 − 5 + 6 2 и указать его корни.

Решение. Если ̸= 0,

Ответ: ( − 2 )( − 3 ).

Таким образом, задача разложения на множители однородного многочлена второго порядка с двумя переменными сво-