Материал: Алгебраические_уравнения

и точка. Термин «коническое сечение» возник в Древней Греции. Греки рассматривали эти кривые как сечения конуса плоскостью. В зависимости от наклона плоскости по отношению к оси конуса, получались эллипсы (как частный случай – окружность), гиперболы и параболы. Если плоскость касалась поверхности конуса, получалась прямая; если плоскость пересекала конус вдоль его оси, – пара пересекающихся прямых, а если проходила через вершину конуса под соответствующим углом, – точка. Рассекание конусов плоскостями может показаться праздным занятием, но конические сечения обладают рядом интересных свойств. В частности, у них есть фокусы. Если в фокус параболы поместить точечный источник света, то отраженные от нее лучи образуют пучок параллельных, а значит, могут освещать бесконечно удаленные цели. Если точечный источник света поместить в один из фокусов эллипса, то отраженные лучи пересекутся в другом фокусе. На самом деле точечных источников не бывает, так же как и идеальных поверхностей, но тем не менее поверхности прожекторов делают именно в виде параболоида, а источник света помещают в его фокус. Не менее важен и тот факт, что траектории движения материальных точек в поле центральной силы, например гравитационном, – кривые второго порядка. И хотя в идеальные траектории вносят возмущения другие менее весомые небесные тела, с большой степенью точности мы можем

считать, что орбиты планет солнечной системы – эллипсы, а Солнце находится в одном из фокусов каждого эллипса. Таким образом, уравнения второго порядка довольно неплохо описывают окружающий нас мир и уже поэтому заслуживают внимания.

Задача определения типа кривой второго порядка по ее уравнению решается в курсе аналитической геометрии. Однако сами кривые можно определить, не прибегая к услугам конуса и даже не вводя на плоскости систему координат.

Эллипс – это геометрическое место всех точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Гипербола – это геометрическое место всех точек, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Парабола – это геометрическое место всех точек, одинакого удаленных от заданной точки (фокуса) и некоторой фиксированной прямой.

Для любого конического сечения можно найти систему координат, в которой его уравнение принимает канонический вид. Это уравнения

и параболы: 2 − 2 = 0,

где , и – вещественные константы. Кривые второго порядка также делят плоскость на области знакопостоянства, внутри которых уравнения превращаются в соответствующие неравенства:

Рис. 17. Области знакопостоянства

2 − 2 ≤ 0 (рис. 17в).

Как вы, вероятно, заметили, уравнения гиперболы и параболы в канонической форме несколько отличаются от тех, к которым мы привыкли в школе. На это есть свои причины. Так, более привычное для многих уравнение =

определяет только семейство гипербол с перпендикулярными ассимптотами, но ассимптоты могут образовывать любой

угол. Хотя теория уравнений и, соответственно, кривых второго порядка доступна человеку, владеющему математикой в рамках школьной программы, ее изучение требует времени и определенных усилий. Мы же пока запомним одно полезное наблюдение. Кривая второго порядка не может иметь более двух общих точек с прямой. Для доказательства достаточно в уравнении прямой выразить одну из переменных или и подставить в уравнение (5).

§ 2.4. Симметричные формы

формой, если

( , ) ≡ ( , ),

т.е. форма, полученная при перестановке переменных и

тождественна исходной. Аналогично для любого числа переменных выражение называют симметричной формой, если после любой перестановки любой пары переменных мы приходим к форме, тождественной исходной. Примеры симметричных форм: + ; ; 2 + 2. В § 2.2, когда применяли теорему Виета, мы столкнулись с системами уравнений, содержащими две симметричные формы:

1 + 2 = − ;

1 2 = .

Эти уравнения устанавливают связь корней квадратного трехчлена 2 + + с его коэффициентами и иногда помогают нам сразу угадать корни. Теперь мы, наоборот, используем квадратный трехчлен для решения системы уравнений

+ = 7;

= 2.

Решение: и – корни уравнения 2 − 7 + 2 = 0. Найдем

= 49 − 8 = 41 > 0. Уравнение имеет два вещественных