Материал: Алгебраические_уравнения
86 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
Ответ: система уравнений имеет два решения:
=
=
√ |
|
|
и |
|
7 |
√ |
|
|
7+√41 |
√41 |
|||||||
7− |
41 |
|
= 7+ 41 |
|||||
2 |
|
|
|
= |
|
−2 |
||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
193 Пример 2. Решить систему уравнений
+ = −2;
= 7.
Решение: и – корни уравнения 2 + 2 + 7 = 0. Найдем
= 4 − 28 = −24 < 0. Множество решений – .
Ответ: система уравнений не имеет решения.
Теперь попробуйте решить те же задачи методом подстановки.
193 Пример 3. Решить систему уравнений
+ = −5;
= 6.
Решение. По теореме Виета, такой системе соответствует квадратное уравнение, два вещественных корня которого нетрудно угадать, – это (−2) и (−3).
Ответ: система уравнений имеет два решения: (−2; −3) и (−3; −2).
Теперь усложним задачу.
§ 2.4. Симметричные формы |
87 |
|
|
Пример 4. Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
193 |
|
2 − 3 = −5;
= 6.
Решение. Умножив левую и правую части второго уравнения на (−3) и 2, мы придем к системе уравнений, левые части которых симметричные формы относительно (2 ) и (−3 ), а значит, (2 ) и (−3 ) являются корнями уравнения
2 + 5 − 36.
(2 ) + (−3 ) = −5;
(2 ) · (−3 ) = −36.
Найдем = 25 − 4 · (−36) = 169, тогда
1,2 = −5 ± 13 1 = −9 и 2 = 4. 2
Это и есть два решения относительно величин (2 ) и (−3 ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
2 = −9 |
|
= −29 |
||||
|
|
3 = 4 |
|
= |
|
3 |
||
|
− |
|
|
|
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
2 = 4 |
|
|
= 2 |
||||
|
3 = |
− |
9 |
= 3 |
||||
|
− |
|
|
|
|
|||
Ответ: (−92 ; −43 ) и (2; 3).
88 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
Теперь рассмотрим случай, когда решение системы методом подстановки невозможно или затруднительно.
194 Пример 5. Решить систему уравнений
|
|
|
|
2 |
+ |
|
+2 |
= 11; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= 30. |
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ + = 11; |
Положим, |
= + |
+ = 11 |
|||||||
|
· |
( + ) = 30. |
|
|
|
|
|
= |
= 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение 2 − 11 + 30 имеет два решения: 5 и 6.
1) |
= 5 |
|
+ = 5 |
|
1.1) |
= 2 |
1.2) |
= 3 |
||
|
= 6 |
= 6 |
|
|
= 3 |
|
= 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
= 6 |
|
+ = 6 |
|
2.1) |
= 1 |
2.2) |
= 5 |
||
|
= 5 |
= 5 |
|
|
= 5 |
|
= 1 |
|||
|
|
, |
, |
(1; 5) |
и |
|
. |
|
|
|
Ответ: (2; 3) |
(3; 2) |
|
(5; 1) |
|
|
|
||||
194 Пример 6. Решить систему уравнений
+ + = 7;
2 + 2 + = 13.
§ 2.4. Симметричные формы |
|
|
|
|
89 |
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
2 |
|
|
Положим, |
|
|||
|
|
+ = 7; |
|
|
|
= + ; |
|||||
( + ) |
|
− |
= 13. |
|
|
|
= . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= 7 |
|
|
= 7 |
|
|
|
Тогда 2+ = 13 |
|
2 + − |
20 = 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
Квадратное |
уравнение 2 + |
− |
20 = 0 имеет два решения, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
которые легко угадать, опираясь на теорему Виета: 1 = −5
и 2 = 4.
1) |
= −5 |
|
|
|
= −5 |
|
|
+ = −5 |
|||||||||||||||
|
= 7 |
|
|
|
|
= 12 |
|
|
= 12 |
||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 5 − 12 = 0. |
||||||||||
Соответствующее квадратное уравнение |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 ± |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 25 + 48 = 73; |
|
= |
|
|
73 |
|
|||||||||||||||
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= −5− 73 |
|
|
|
= −5+ 73 |
||||||||||||||
|
|
|
= − |
2 |
|
|
|
|
|
= |
− −2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1.1) |
|
|
|
2 |
|
|
|
1.2) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5+√ |
|
|
|
5 √ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
73 |
|
73 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) = 4 |
|
|
|
= 4 |
|
|
+ = 4 |
||||||||||||||||
|
= 7 |
− |
|
= 3 |
|
|
= 3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
90 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
Соответствующее квадратное уравнение 2 − 4 + 3 = 0.
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= 1 |
|
|
= 3 |
||
|
2.1) = 3 |
|
2.2) = 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
√ |
|
|
Ответ: (−5− 73 |
; −5+ 73 ), (−5+ |
73 ; −5− 73 ), (1; 3) и (3; 1). |
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
Ранее мы отметили, что прямая и кривая второго порядка не могут иметь больше двух общих точек (рис. 18а). Аналогично две кривые второго порядка не могут иметь более четырех общих точек (рис. 18б).
Рис. 18. Кривые второго порядка
194 Пример 7. Решить систему уравнений
2 + 2 = 52;
= 24.
Решение. Первому уравнению соответствует окружность
√
радиуса 52 с центром в начале координат, второму – гипербола. Как мы видим на графике (см. рис. 18б), кривые