Материал: Алгебраические_уравнения
|
|
|
96 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
|||||||
|
|
|
дится к задаче нахождения корней квадратного трехчлена. |
||||||||
|
|
|
Отсюда мы можем извлечь еще один прием нахождения кор- |
||||||||
|
|
|
ней квадратного трехчлена. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 2. Разложить на множители трехчлен |
||||||||
192 |
|
||||||||||
|
|
|
6 2 − 5 + 1 и указать его корни. |
|
|
|
|||||
|
|
|
Решение. Поставим в соответствие исходному квадратно- |
||||||||
|
|
|
му трехчлену однородный многочлен 6 2 −5 + 2. Теперь, |
||||||||
|
|
|
чтобы вернуться к исходному, достаточно положить = 1. |
||||||||
|
|
|
6 2 − 5 + 2 = 2 (6 − 5 |
+ ( ) |
|
) = 2(6 − 5 + 2) = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= 2( 2 − 5 + 6) = 2( − 2)( − 3). |
|||||||
|
|
|
Теперь вспомним, что = , и возьмем = 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
( − 2)( − 3) = |
||||||
|
|
|
|
6 2 − 5 + 2 = 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= (1 − 2 )(1 − 3 ) = (2 − 1)(3 − 1). |
|||||||
|
|
|
Ответ: (2 − 1)(3 − 1), корни = 21 |
и = 31 . |
|||||||
|
|
|
Значит, если квадратный трехчлен имеет вид 2 + + 1, |
||||||||
|
|
|
для нахождения его корней достаточно найти корни трех- |
||||||||
|
|
|
члена 2 + + и в ответе записать их обратные величины. |
||||||||
|
Пример 3. Решить уравнение 2 − 5 + 6 2 = 0. |
||||||||||
195 |
|
||||||||||
|
|
|
Решение. Такое уравнение всегда имеет тривиальное ре- |
||||||||
|
|
|
шение: ( = 0)&( = 0). Если ̸= 0, мы можем разделить |
||||||||
§ 2.5. Однородные многочлены |
97 |
левую и правую части уравнения на 2. Пусть |
= . Тогда |
|
|
2 −5 + 6 = 0. Если дискриминант меньше нуля, других решений, кроме тривиального, не существует. Находим 1 = 2
и 2 = 3. Следовательно, = 2 и = 3 . Тривиальное решение удовлетворяет обоим равенствам.
Ответ: {( ; )| = 2 } {( ; )| = 3 }, где , .
Таким образом, на плоскости однородному алгебраическому уравнению второго порядка соответствует или одна точка с координатами (0; 0), или две пересекающиеся в начале координат прямые.
Пример 4. Решить систему уравнений |
195 |
2 − 5 + 8 2 = 0;
2 + 3 + 2 2 = 48.
Решение. Первое уравнение однородное. Разделив его на 2
и введя замену = , придем к уравнению 2 − 5 + 8 = 0. Дискриминант = 25 − 32 = −7 < 0. Значит, уравнение
2 − 5 + 8 2 = 0 имеет только одно тривиальное решение
( = 0)&( = 0). Подставив это решение во второе уравнение, придем к ложному утверждению: 0 = 48.
Ответ: система не имеет решения.
98 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
195 Пример 5. Решить систему уравнений
2 − 5 + 6 2 = 0;
2 + 3 + 2 2 = 48.
Решение. Первое уравнение однородное. Разделив его левую и правую части на и введя замену = , придем к уравнению 2 − 5 + 6 = 0. Его корни: 1 = 2 и 2 = 3.
1)= 2 = 2 . Подставляем = 2 во второе уравнение системы: 12 2 = 48 2 = 4 = ±2 = ±4.
2)= 3 = 3 . Подставляем = 3 во второе уравнение
системы:
20 2 = 48 2 = 4, 8 = ±√4, 8 = ±3√4, 8.
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
Ответ: (−2; −4), (2; 4), (− |
4, 8; −3 |
|
4, 8), ( |
|
4, 8; |
|
4, 8). |
||||||||||||
195 |
Пример 6. Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
2 |
|
− 2 |
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
160; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− |
3 |
− |
2 |
|
= 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Оба уравнения неоднородны. Умножим второе уравнение на 20 и вычтем из результата первое уравнение:
20 2 |
−60 |
−40 2 |
= |
160 |
3 2 |
−2 |
|
= |
160 |
17 2 |
−58 |
−40 2 |
= |
0. |
§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными |
99 |
Мы пришли к следующей эквивалентной исходной системе:
17 2 − 58 − 40 2 = 0;
3 2 − 2 = 160.
Разделим первое уравнение на 2 и обозначим = . Найдем
дискриминант уравнения 17 2 − 58 − 40 = 0:
√
= 582 − 4 · 17 · (−40) = 6084 > 0. 6084 = 78. Корни
уравнения: 1,2 = 5834±78 1 = −1017 ; 2 = 4.
1) = −1017 = −1017 10 = −17 . Умножим второе уравнение на 10 и подставим (−17 ) вместо 10 :
64 2 = 1600 = ±5 = 172 .
2) = 4 = 4 . Подставим = 4 во второе уравнение системы: 40 2 = 160 2 = 4 = ±2 = ±8.
Ответ: (−5; 172 ), (5; −172 ), (−8; −2), (8; 2). |
|
Задачи к параграфу на с. 195, п. 16. |
|
§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными
94 102 Уравнения второго порядка с тремя неизвестными в задачах средней школы встречаются нечасто. Общий вид уравнения:
11 2 + 22 2 + 33 2 + 2 12 + 2 13 + 2 23 +
+ 1 + 2 + 3 + 0 = 0.
100 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
За исключением вырожденных случаев, каждому такому уравнению соответствует поверхность в трехмерном пространстве. Несмотря на большое количество членов уравнения, соответствующих типов поверхностей не так уж много. Просто существует континиум способов расположения поверхности в системе координат. Как и в случае уравнений второго порядка, в некоторой системе координат запись уравнений имеет канонический вид. Прежде всего заметим, что каждой кривой второго порядка плоскости
в пространстве соответствует цилиндрическая поверхность. Это эллиптический (рис. 19а), гиперболический (рис. 19б) и параболический (рис. 19в) цилиндры. Действительно, каж-
Рис. 19. Цилиндрические поверхности
дой точке плоскости с координатами ( 0; 0) соответствует в пространстве прямая, т. е. множество точек с координатами
( 0; 0; ), где . Если прямую перемещать параллельно самой себе вдоль некоторой плоской кривой, она опишет в пространстве цилиндрическую поверхность. Однако класс