Материал: Алгебраические_уравнения
106 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Раскроем скобки в правой части последнего равенства и приведем подобные:
0 + 1 −1 + . . . + −1 + = 0 + ( 1 − 0 ) −1 + . . .
Отсюда 0 = 0; 1 = 1 − 0 ; 2 = 2 − 1 и т. д. Наконец,−1 = −1 − −2 и = − −1 . Теперь из последних равенств поочередно выражаем: 0 = 0; 1 = 1 + 0 ;
2 = 2 + 1 и т. д., пока не дойдем до −1 = −1 + −2
и= + −1 . Таким образом, зная коэффициенты исходного многочлена и линейный член ( − ), мы можем последовательно найти все коэффициенты результата деления
иостаток. Вычисления удобно выполнять в таблице. Тогда после некоторой тренировки вы доведете выполнение этой операции до автоматизма.
196 Пример 2. Разделить многочлен 4 − 5 3 + 2 2 − 3 + 7
на линейный член − 2.
Решение. Составим таблицу из трех строк. В первую строку занесем степени коэффициентов от четвертой до нулевой, во вторую поместим соответствующие коэффициенты исходного многочлена, а третью, где должны быть коэффициенты результата выполнения операции и остаток, будем заполнять в ходе выполнения схемы Горнера.
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
107 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степень |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Остаток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
−5 |
2 |
−3 |
7 |
– |
|
|
b |
|
0 |
1 |
−3 |
−4 |
−11 |
−15 |
|
Заполним строку коэффициентов . В ячейке, соответствующей степени 4, ставим 0, поскольку результат деления – многочлен степени 3. Далее каждую следующую ячейку получаем из двух ячеек предыдущего столбца: строки и . Для этого к значению из предыдущего столбца прибавляем значение из того же столбца, умноженное на 2, поскольку в нашей задаче = 2. В последней ячейке помещаем значение остатка. Осталось только записать результат в терминах математической символики.
Ответ:
4 − 5 3 + 2 2 − 3 + 7 = ( − 2) · ( 3 − 3 2 − 4 − 11) − 15. |
|
Проверьте результат, применив алгоритм деления лесенкой. |
|
Задачи к параграфу на с. 196, п. 17–18. |
|
§ 3.2. Разложение многочленов
на множители
102 125 В курсе средней школы мы чаще имеем дело с многочленами от одной переменной, при этом как переменную , так и все коэффициенты многочлена считаем веще-
108 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
ственными числами. Решить уравнение с многочленом в левой части ( ) = 0 – значит найти все его корни, т. е. такие значения , при которых многочлен обращается в ноль. В свою очередь задача нахождения корней существенно облегчается, если удается разложить многочлен на множители. Но сначала о корнях. Мы пока признаем только вещественные корни. Для квадратного трехчлена эта задача выполнима, если его дискриминант неотрицателен. Многочлен третьей степени всегда имеет хотя бы один вещественный корень, и его корни находятся по формуле, открытой в XVI веке Кардано (с. 149). В этом же веке итальянским математиком Лудовико Феррари получено общее решение уравнения четвертой степени. Таким образом, после Феррари математики сосредоточились на задаче нахождения корней многочлена пятой степени, но не тут-то было. Только в XIX веке норвежский математик Нильс Абель доказал, что корни уравнения пятой степени в общем случае не выражаются через радикалы. Поэтому уравнения свыше четвертого порядка обычно решают численно, хотя есть приемы, позволяющие в отдельных конкретных случаях найти эти корни и аналитически. Если многочлен ( ) удастся разложить на множителей:
( ) = 1 ( ) · 2 ( ) . . . ( ), где 1 + 2 + . . . + = ,
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
109 |
то множество решений исходного уравнения будет объединением множеств решений всех уравнений ( ) = 0, где
= 1, 2, . . . . В данном параграфе мы рассмотрим несколь-
ко приемов разложения многочленов на множители. В первую очередь, это непосредственное использование известных ал-
гебраических тождеств. |
|
Пример 1. Разложить на множители многочлен |
197 |
4 − 18 2 + 81.
Решение:
4−18 2+81 = ( 2)2−2·9· 2+92 = ( 2−9)2 = ( −3)2( +3)2.
Ответ: 4 − 18 2 + 81 = ( − 3)2( + 3)2.
Пример 2. Разложить на множители многочлен 6 + 6. 197
Решение:
6 + 6 = ( 2)3 + ( 2)3 = ( 2 + 2)( 4 − 2 2 + 4) =
= ( 2 + 2)( 4 + 2 2 2 + 2 + 4 − 3 2 2) =
( √ )
= ( 2 + 2) ( 2 + 2)2 − ( 3 )2 =
√√
= ( 2 + 2)( 2 − 3 + 2)( 2 − 3 + 2).
√√
Ответ: 6 + 6 = ( 2 + 2)( 2 − |
3 + 2)( 2 − |
3 + 2). |
|
Часто все проблемы решает удачная группировка. |
|
||
Пример 3. Разложить на множители многочлен |
|
||
197 |
|||
4 + 4 2 − 5. |
|
|
|
110 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Решение:
4 + 4 2 − 5 = 4 − 2 + 5 2 − 5 = 2( 2 − 1) + 5( 2 − 1) = = ( 2 − 1)( 2 + 5) = ( − 1)( + 1)( 2 + 5).
Ответ: 4 + 4 2 − 5 = ( − 1)( + 1)( 2 + 5).
Теперь немного теории.
Теорема 1. Многочлен n-го порядка ( ) делится на линейный член ( − ) без остатка тогда и только тогда, когда является корнем многочлена.
Доказательство. Разделив многочлен ( ) на линейный член ( − ) так, как мы это делали в предыдущем параграфе, придем к равенству
( ) = −1( ) · ( − ) + ,
где −1( ) – некоторый многочлен порядка −1, а – остаток. Если деление прошло без остатка, = 0. Подставим в равенство = : правая часть обратится в ноль и равенство примет вид ( ) = 0, т. е. – корень ( ). И наоборот. Если – корень, то при = левая часть и линейный множитель в правой части обращаются в ноль, следовательно,
= 0. Теорема доказана.
Если коэффициенты многочлена в алгебраическом уравнении – рациональные числа, а значит, представимы в виде