Материал: Алгебраические_уравнения
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
111 |
рациональных дробей, то умножив левую и правую части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей, мы получим многочлен с целыми коэффициентами. Поэтому следующие утверждения достаточно сформулировать только для многочленов с целыми коэффициентами.
Теорема 2. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, этот корень должен быть делителем свободного члена.
Доказательство. Пусть – решение уравнения
0 + 1 −1 + · · · + −1 + = 0.
Тогда
= − · ( 0 −1 + 1 −2 + · · · + −1).
Таким образом, является произведением на другое целое число. Теорема доказана.
Когда мы применяли теорему Виета к квадратным трехчленам, то искали делители свободного члена. Оказывается, целые корни многочлена любого порядка с целыми коэффициентами являются делителям свободного члена. Проверка подстановкой может занять много времени. Например, если свободный член равен 60, он имеет 24 делителя:
±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±10; ±12; ±15; ±20; ±30; ±60.
112 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Если оказалось, что ни один из делителей свободного члена не является корнем, вам не повезло! Многочлен не имеет целых корней. Только что доказанную теорему можно обобщить на случай рационального корня.
Теорема 3. Если корнем многочлена ( ) с целыми коэффициентами является рациональное число, представленное несократимой дробью , где и – целые числа, то числитель дроби является делителем свободного члена, а знаменатель – делителем старшего коэффициента.
Доказательство. Пусть = – решение уравнения
|
|
|
|
|
|
( ) = 0. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 ( |
|
) |
|
+ 1 ( |
|
) |
|
+ . . . + −1 |
|
+ = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
Умножив его левую и правую части на , получим уравнение
0 + 1 −1 + . . . + −1 −1 + = 0
0 = − · ( 1 −1 + . . . |
+ −1 −1 + ). |
Правая часть последнего равенства делится на . Поскольку целые числа и не имеют общих делителей, 0 делится на .
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
113 |
Теперь перенесем в правую часть все моночлены, кроме 0 :
0 = · ( 1 −1 + . . . |
+ −1 −2 + −1). |
Правая часть делится на . Следовательно, старший коэффициент в левой части 0 делится на . Теорема доказана. Таким образом, для проверки существования рациональных корней многочлена ( ), мы должны выполнить следующие три шага:
1)найти все делители свободного члена;
2)найти все делители старшего члена;
3)проверить подстановкой все дроби, числитель которых найден на первом шаге, а знаменатель – на втором.
При этом надо помнить, что каждая пара натуральных чи-
сел и будет представлять два рациональных числа: |
|
|
|
и |
. Если ни одна из рациональных дробей, составлен- |
|
|
ных(−по)известному правилу, не является корнем, то мы зря |
|
трудились: многочлен имеет только иррациональные корни.
Но, если мы угадаем один из корней, мы можем понизить порядок многочлена, разделив его на ( − ).
Пример 4. Разложить на множители многочлен |
197 |
4 + 4 2 − 5.
Решение. Эту задачу мы уже решали в примере на с. 109 методом группировки. Теперь используем другой прием. Легко проверить подстановкой, что выражение обращается в
114 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
ноль при = 1 и = −1. Тогда многочлен должен делиться без остатка на ( − 1) и ( + 1), а значит, и на
( − 1)( + 1) = 2 − 1.
4+4 2−5 |
2 − 1 |
|||
4 |
− 2 |
|
|
2 + 5 |
|
5 2 |
−5 |
|
|
|
5 2 |
−5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 4 + 4 2 − 5 = ( − 1)( + 1)( 2 + 5).
198 Пример 5. Разложить на множители многочлен
3 + 2 2 + − 18.
Решение. Заметим, что корнем многочлена является = 2, и выполним деление многочлена на − 2 по схеме Горнера, как показано на с. 106.
Степень |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
Остаток |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
2 |
1 |
−18 |
– |
b |
|
– |
1 |
4 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, 3 + 2 2 + − 18 = ( − 2)( 2 + 4 + 9). У квадратного трехчлена дискриминант меньше нуля, и дальнейшее разложение на множители невозможно.
Ответ: 3 + 2 2 + − 18 = ( − 2)( 2 + 4 + 9).
198 Пример 6. Разложить на множители многочлен
2 3 + 2 + 4 − 15.
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
115 |
Решение. Прежде всего в соответствии с теоремой 3 выполним три шага, указанные на с. 113:
1)все делители свободного члена: ±1; ±3; ±5; ±15;
2)все делители старшего члена: ±1; ±2;
3)все возможные рациональные дроби, в которых числитель взят из 1-го пункта, а знаменатель – из 2-го:
±1; ± 3; ± 5; ± 15; ± 12; ± 32; ± 52; ± 152 .
Проверка подстановкой показывает, что из 18 перечисленных рациональных чисел только 32 является корнем рассматриваемого многочлена. Действительно,
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
2 ( |
|
) |
|
+( |
|
) |
|
+4 |
|
|
−15 = |
|
|
·(2·33 +32 +4·3 |
·22 −15·23) = |
||
2 |
|
2 |
|
2 |
23 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
· (54 + 18 + 48 |
− 120) = 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|||||
Любой человек, имеющий навыки работы на персональном компьютере, легко может проверить все перечисленные под-
становки, например в Excel. Таким образом, |
− 23 |
являет- |
|
ся делителем рассматриваемого многочлена.( |
Но |
мы, чтобы |
|
|
) |
||
избежать операций с дробями, выполним деление многочле-
на на линейный член: 2 · |
− 23 |
= (2 − 3). Так как коэф- |
|||
фициент при |
|
в |
линейном члене не равен единице, схема |
||
|
|
( |
) |
||
Горднера здесь не сработает и мы выполним деление «лесенкой»: