Материал: Алгебраические_уравнения
116 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
2 3 + 2+4 −15 |
2 − 3 |
||||
2 3−3 2 |
|
|
|
2 + 5 |
|
|
4 2 |
+4 |
|
||
|
4 2 |
−6 |
|
|
|
|
|
10 -15 |
|
||
|
|
10 -15 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку 2 + 5 не раскладывается на множители, задача решена.
Ответ: 2 3 + 2 + 4 − 15 = (2 − 3)( 2 + 5).
Если коэффициенты многочлена четвертой степени симметричны относительно среднего члена, можно применить следующий прием.
199 Пример 7. Разложить на множители многочлен
4 − 6 3 + 10 2 − 6 + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Очевидно, ̸= 0. |
|
|
|
|
+ 2 ) |
|
|||
4 − 6 3 + 10 2 − 6 + 1 = 2 ( 2 − 6 + 10 − |
= |
||||||||
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
= 2 ( ( 2 + 2 ) − 6 |
( + |
) + 10). |
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
117 |
|||||||||||
Пусть |
+ 1 |
= , тогда |
2 |
+ |
1 |
= + |
1 |
) |
2 |
−2 и выраже- |
||
2 |
|
|||||||||||
ние |
|
( |
) |
( |
|
|
) ( |
|
|
|
|
|
|
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2( 2 − 2 − 6 + 10) 2( 2 − 6 + 8) 2( − 2)( − 4).
Выражение обращается в ноль при = 2 и = 4:
1) = 2 + 1 |
= 2 2 − 2 + 1 1,2 = 1. |
√ |
|
|
2) = 4 + 1 |
= 4 2 − 4 + 1 3,4 = 2 ± |
3 |
. |
|
Ответ: |
|
|
|
|
( √ )( √ )
4 −6 3 + 10 2 −6 + 1 = ( −1)2 − (2 − 3) − (2 + 3) .
Мы могли решить эту задачу и иначе: заметив, что 1 –
корень многочлена, разделить многочлен на ( − 1) (пример на с. 106). Оказывается, 1 является и корнем частного, которое следует также разделить на ( − 1). В конечном итоге останется только найти корни квадратного трехчлена
2 − 4 + 1.
В данном случае проблему нахождения корней многочлена четвертой степени мы свели к задаче решения квадратных уравнений. Тот же прием позволяет понижать порядок
уравнений более высокой степени. |
|
Пример 8. Разложить на множители многочлен |
199 |
6 − 3 5 + 2 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 1.
118 |
|
|
|
|
|
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА |
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Вынесем за скобки величину 3: |
|
( 3 ) ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
( 3 − 3 2 + 2 − 3 + 2 |
− 3 ( 2 ) + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
= 3 ( ( 3 |
+ 3 ) − 3 |
( 2 + |
2 ) + 2 |
( + ) − 3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Пусть |
+ 1 |
|
= , тогда |
2 + |
12 |
= |
|
+ 1 |
|
|
2 − 2. Выведем |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
аналогичную формулу и для |
|
3 + |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
( + |
|
) |
|
= 3 + 3 + 3 |
|
+ |
|
|
|
= ( 3 |
+ |
|
|
) |
+ 3 ( + |
|
) = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= ( 3 + 3 ) + 3 = 3 + 3 = 3 |
|
− 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
( 2 + 2 ) |
+ 2 ( + ) |
|
− 3) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
( ( 3 |
+ 3 ) − 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=3 ( 3 − 3 − 3( 2 − 2) + 2 − 3) =
=3 ( 3 − 3 2 − − 3) = 3 ( 2( − 3) − ( − 3)) =
=3( − 3)( + 1)( − 1).
Рассмотрим три случая: = −1, = 1 и = 3.
1)= −1 + 1 = −1 2 + + 1 = 0. Дискриминант меньше нуля. Вещественных корней нет.
2)= 1 + 1 = 1 2 − +1 = 0. Дискриминант меньше
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
119 |
нуля. Вещественных корней нет.
√
3) = 3 + 1 = 3 2 − 3 + 1 = 0 1,2 = 3±2 5 .
Ответ:
6 − 3 5 + 2 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 1 =
= 2 |
+ + 1 |
2 − + 1 |
( − 3 −2√ |
|
)( − 3 +2√ |
|
|
). |
||
5 |
5 |
|||||||||
( |
)( |
|
) |
|
|
|
|
|||
Рассмотрим примеры, когда делителем многочлена является неполный квадрат вида 2 + . Начнем с многочлена третьей степени 3( ) = 0 3 + 1 2 + 2 + 3. Пусть
0 3 + 1 2 + 2 + 3 = ( + )( 2 + ) = 3 + 2 + + .
Задача легко решается методом группировки. |
|
Пример 9. Разложить на множители многочлен |
199 |
2 3 − 3 2 + 4 − 6.
Решение:
2(2 − 3) + 2(2 − 3) = (2 − 3)( 2 + 2).
Ответ: 2 3 − 3 2 + 4 − 6 = (2 − 3)( 2 + 2).
Пусть теперь многочлен четвертой степени 4( ) имеет де-
120 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
литель вида 2 + :
4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 = ( 2 + + )( 2 + ) =
= 4 + 3 + ( + ) 2 + + .
Если приравнять коэффициенты многочленов в левой и правой частях двойного равенства, мы получим систему пяти уравнений для нахождения четырех неизвестных: , , и . Если система несовместна, наша гипотеза неверна.
199 Пример 10. Разложить на множители многочлен
2 4 + 3 + 4 2 + + 2.
Решение. Допустим, многочлен имеет представление:
( 2 + + )( 2 + ) = 4 + 3 + ( + ) 2 + + .
Тогда, приравняв соответствующие коэффициенты, придем к системе уравнений
= 2 |
|
= 2 |
= 1 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 4 |
= = 1 |
= 1 |
|
= 2 |
= 2 |
+ = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|