Материал: Алгебраические_уравнения
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
121 |
|
|
Система оказалась непротиворечивой. |
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
2 4 + 3 + 4 2 + + 2 = (2 2 + + 2)( 2 + 1). |
|
|
|
Пример 11. Разложить на множители многочлен |
|
|
|
|
|
199 |
|
24 5 + 22 4 − 73 3 − 69 2 + 3 + 9.
Решение. Допустим, многочлен имеет представление:
( 3+ 2+ + )( 2+ ) = 5+ 4+( + ) 3+( + ) 2+ + .
Приравняв, как в предыдущем примере, коэффициенты
многочлена в правой части последнего равенства к соответ-
ствующим коэффициентам исходного многочлена, получим
систему уравнений
= 24 |
|
|
|
= 24 |
|
|
|||
= 22 |
|
|
|
|
= 22 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
+ 24 = 73 |
||
+ = |
|
|
|
|
|
− |
|
||
|
|
− |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
= 3 |
|
|
|
+ = |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ 22 = |
|
|
|
|
= 3 |
− |
|
|
|
− |
69 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9 |
|
|
= 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА |
||
Решим отдельно системы |
|
|
|
|
+ 24 = −73 |
и |
+ 22 = −69 |
|
= 3 |
|
= 9, |
|
|
|
|
сведя их к симметричным (с. 87):
+ (24 ) = −73 1)
· (24 ) = 72
2 + 73 + 72 = 0 = 1 = −1 и 2 = −72.
= −1 |
|
= −1 |
|||
1.1) 24 = |
− |
72 |
= |
− |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2) |
= −72 |
|
= −72 |
|
|
|||||
|
|
24 = 1 |
= 24 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2) |
+ (22 ) = −69 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(22 ) = 198 |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
+ 69 + 198· |
= 0 = |
1 = |
− |
3 и 2 = |
− |
66. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= −3 |
= −3 |
||
2.1) 22 = 66 |
= |
− |
3 |
|
|
− |
|
|
|
§ 3.2. Разложение многочленов на множители |
123 |
2.2) |
= −66 |
= −66 |
|||
22 = 3 |
= |
|
22 |
||
|
− |
|
− |
3 |
|
|
|
||||
Рассмотренные системы имеют непротиворечивые решения:
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
= |
3 |
= |
−3 |
и |
= |
−3 |
|
− |
|
|
− |
Таким образом, = 24; = 22; |
= −1; = −3; = −3. |
|||
( 3 + 2 + + )( 2 + ) = (24 3 + 22 2 − − 3)( 2 − 3).
Чтобы разложить на множители выражение
24 3 + 22 2 − − 3,
применим алгоритм поиска рациональных корней (с. 113). Первый корень, найденный в процессе перебора рациональных дробей, = −12 . Разделим многочлен третьего порядка на линейный член 2 + 1. Поскольку здесь коэффициент при не единица, деление выполним «лесенкой» (с. 116). Деление, как и следовало ожидать, прошло без остатка. В результате мы получили квадратный трехчлен 12 2 + 5 − 3. Его дискриминант = 25 − 4 · 12 · (−2) = 169 = 132. Корни
124 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
1,2 = |
−5±13 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
24 |
1 = −4 |
и 2 = 3 . Следовательно, |
||||||||||||
|
|
12 2 + 5 − 3 = 12 ( + 4)( − |
3). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
||
Выражение 2 − 3 = ( − √ |
3)( + √ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3). |
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 5 + 22 4 − 73 3 − 69 2 + 3 + 9 = |
||||||||||||
= 24 |
· ( + 2)( + |
4)( − |
3)( − √3)( + √3). |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Не будем забывать один из выжнейших математических методов – метод замены переменной.
197 Пример 12. Разложить на множители выражение
(10 − 5)2(10 − 4)(10 − 6) − 72.
Решение. Сделав замену = 10 − 5, придем к трехчлену, квадратному относительно 2:
2( + 1)( − 1) − 72 = ( 2)2 − 2 − 72 =
= ( 2 + 8)( 2 − 9) = ( 2 + 8)( − 3)( + 3).
Подставим в последнее равенство выражение = 10 − 5:
[(10 −5)2+8](10 −8)(10 −2) = (100 2−100 +33)(10 −8)(10 −2).
§ 3.3. Неравенства |
125 |
Ответ:
(10 −5)2(10 −4)(10 −6)−72 = (100 2−100 +33)(10 −8)(10 −2).
Иногда перед поиском корней многочлена полезно оценить |
|
их границы (с. 164). |
|
Задачи к параграфу на с. 197, п. 19–26. |
|
§ 3.3. Неравенства
107 132 Рассмотрим многочлен третьей степени с одной неизвестной, графиком которого является кубическая парабола (рис. 21). В общем виде уравнение кубической параболы выглядит так:
3( ) = 3 + 2 + + .
Кубический многочлен имеет один или три вещественных корня, при этом допускаются кратные корни, т. е. совпадающие. Совпадать могут два корня, либо все три, в последнем случае многочлен представляется в виде ( − )3. Функция = 3( ) может иметь один локальный максимум и один локальный минимум, которые находятся из условия равенства нулю производной 3′( ) = 3 2 + 2 + .