Материал: Алгебраические_уравнения

Рис. 22. Промежутки знакопостоянства из примера 5

Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −3, −2, 1, 2, 3. Отметим их на схеме (рис. 23) жирными точками, поскольку они войдут в решение. Все корни простые, т. е. единичной кратности, а значит, делят вещественную ось на шесть промежутков знакопостоянства. Подставив в многочлен = 0, найдем знак на интервале (−2; 1). На этом интервале будет знак «−». Опять по принципу чередования расставим знаки в остальных интервалах, как показано на рис. 23.

Ответ: (−∞; −3] [−2; 1] [2; 3].

Рис. 23. Промежутки знакопостоянства из примера 6

( 2 + + 1)( − 1)2( − 3)(2 − )( − 4)3 ≤ 0.

Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках 1, 3, 4. Мы отметим их, как решения, жир-

132 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

ными точками (рис. 24). Квадратный трехчлен ( 2 + + 1)

при всех вещественных сохраняет знак «+». Два корня –

3 и 4 – нечетной кратности, в них многочлен меняет знак. Таким образом, точки 3 и 4 разбивают вещественную ось на три промежутка знакопостоянства. Расставим на схеме (рис. 24) знаки и запишем ответ. Ответ включает подмножество, состоящее из изолированной точки 1, которая расположена внутри «знакоположительного» интервала.

Ответ: {1} [3; 4].

Рис. 24. Промежутки знакопостоянства из примера 7

Задачи к параграфу на с. 200, п. 27–28.

§ 3.4. Комплексные корни многочлена

125 149 На протяжении всей истории развития человеческого общества развивалось и понятие «число». В ряде открытых европейскими путешественниками первобытных племен Африки и Океании люди знали только натуральные числа: 1, 2 и 3. Все, что больше, – это «много». Наверное, также обстояло дело с арифметикой и у наших далеких предков. Сейчас это может показаться смешным, но

такая числовая система вполне удовлетворяла потребности их общественной практики. Древние греки уже рассматривали не только натуральные числа, но и их отношения, т. е. положительные рациональные числа, а в школе Пифагора знали о существовании величин, которые нельзя измерить и

вэтой числовой системе. Так, диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональной дробью. Сейчас мы сказали бы, что уравнение 2 = 2 не имеет решения

на множестве рациональных чисел или не существует таких целых чисел и , что ( )2 = 2 . В средневековой Европе величины, не измеряемые отношением целых чисел,

называли иррациональными, т. е. «неразумными». Только

вXVI веке эти числа несколько реабилитировал Симон Стевин, внедривший в обиход десятичные дроби. Наконец, в XIX веке благодаря трудам Георга Кантора, Карла Вейерштрасса и Юлиуса Вильгельма Рихарда Дедекинда иррациональные числа получили строгое определение, а следовательно, прописку на числовой оси. Множество рациональных чисел, дополненное иррациональными, назвали множеством вещественных чисел. Оказалось, что иррациональные числа «заткнули» все дыры на числовой оси и теперь любая величина может быть измерена. На этом в истории развития «числа» можно было бы поставить жирную точку, если бы не одна беда. Еще Кардано при нахождении корней многочленов третьей степени, даже если они были вещественны-

134 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

√

ми, использовал вспомогательные величины вида + −1. Существование таких величин не укладывалось в традиционное мировоззрение, и сам Кардано считал их лишенными какого-либо смысла, однако совсем отказаться от их использования не получалось. Декарт также рассматривал их как

нечто нереальное, и с его легкой руки в XVI–XVII веках ве-

√

личины вида + −1 стали называть мнимыми. Впрочем, как мы заметили выше, тогда даже иррациональные числа еще «не добились равноправия» на вещественной оси да и на отрицательные нередко посматривали неодобрительно даже математики. И все-таки практическая польза по-

степенно теснила «эстетику». В XVIII веке Леонард Эйлер

√

ввел мнимую единицу = −1, а в XIX веке Карл Фридрих Гаусс доказал алгебраическую замкнутость множества комплексных чисел, т. е. чисел вида + . Последнее означает, что любой многочлен степени выше нулевой имеет хотя бы один комплесный корень. Если степень многочлена ( )

больше единицы и 1 его комплексный корень, то, разделив многочлен на линейный член ( − 1), мы получим многочлен степени на единицу меньшей (с. 102), который также должен иметь по крайней мере один комплексный корень. Продолжим процесс понижения степени многочлена до тех пор, пока в результате деления не получим многочлен нулевой степени 0. Теперь мы можем утверждать, что любой

многочлен -й степени имеет комплексных корней и

( ) = 0( − 1)( − 2) . . . ( − ).

Сейчас мнимую единицу определяют как некую величину (не являющуюся вещественным числом), для которой верно утверждение 2 = −1, а комплексное число как выражение вида + , где , . Если = + , то вещественное число = ( ) называют действительной частью, а = ( ) – мнимой частью.

Сразу сделаем два важных замечания. Иногда мнимую единицу определяют как решение уравнения 2 = −1. Такое определение некорректно, поскольку точно также решением будет и (− ). И второе. Поначалу сложилась практика в записи комплексного числа ставить отрицательное число под знак квадратного корня. Тогда

√ √ √ √

−1 · −1 = (−1)(−1) = 1 = 1.

Но, с другой стороны,

√√

−1 · −1 = · = 2 = −1.

тельного числа под корнем. Дело в том, что обычно сим-