Материал: Алгебраические_уравнения
136 |
|
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА |
волом √ |
|
мы обозначаем арифметический квадратный ко- |
|
рень, определяемый как положительное вещественное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Данное определение исключает возможность нахождения под знаком квадратного корня отрицательного числа. В более широком смысле под квадратным корнем подразумевают решение уравнения 2 = . Уравнение имеет два корня. Определенный таким образом «корень» сложно использовать в выражениях.
Пусть 1 = 1 + 1 и 2 = 2 + 2. Тогда основные арифметические операции с комплексными числами определяются так:
1)1 ± 2 = ( 1 ± 2) + ( 1 ± 2);
2)1 2 = ( 1 + 1)( 2 + 2) = ( 1 2 − 1 2) + ( 1 2 + 2 1);
3)1 = 1 + 1 = ( 1 + 1)( 2 − 2) =2 2 + 2 ( 2 + 2)( 2 − 2)
= |
1 2 + 1 2 |
+ |
· |
2 1 − 1 2 |
. |
|
|
22 + 22 |
|
||||
|
|
|
22 + 22 |
|||
Имеет место равенство ( + ) = + . Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
( 1) = ( 2) и ( 1) = ( 2).
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
137 |
Иначе говоря, ( 1 = 2)&( 1 = 2). Отношение неравенства для комплексных чисел не определено. Теперь обобщим алгоритм нахождения корней квадратного трехчлена
2 + + (с. 59) на случай произвольного дискриминанта. Пусть ̸= 0. Тогда квадратный трехчлен имеет два комплексных корня. Дискриминант = 2 − 4 . Корни
√
|
± |
|
, если ≥ 0; |
||
2 |
|
|
|||
± 2 − , если < 0. |
|||||
1,2 = |
√ |
|
|
|
|
Таким образом, мы избегаем ситуаций, когда под знаком квадратного корня может оказаться отрицательное число.
Пример 1. Найти корни квадратного трехчлена 2 2+2 +3. 200
Решение. На с. 61 мы установили, что этот трехчлен не име- |
|
|||||||||||||||||
ет вещественных корней. Найдем комплексные: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
= 4 |
− |
24 = 20 < 0 |
|
|
|
= |
−2 ± 20 |
= |
−1 ± 5 |
. |
|
|||||||
|
− |
|
|
|
1,2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
−1 − |
5 |
и 2 = |
−1 + 5 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Найти корни многочлена 2 3 + 2 |
+ 4 − 15. |
|
||||||||||||||||
201 |
||||||||||||||||||
Решение. В примере на с. 116 мы разложили этот много- |
|
|||||||||||||||||
член на множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 3 + 2 + 4 − 15 = (2 − 3)( 2 + 5).
138 |
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА |
|||||||||
|
|
Корни неполного квадратного трехчлена 2+5: 2,3 = ± √ |
|
. |
||||||
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
||
|
|
Ответ: 1 = 1, 5; 2 = − 5 и 3 = |
5. |
|
|
|||||
201 |
Пример 3. |
Найти корни многочленаа 2 4 + 3 +4 2 + +2. |
||||||||
Решение. В примере на с. 120 мы разложили многочлен в произведение двух квадратных трехчленов:
2 4 + 3 + 4 2 + + 2 = (2 2 + + 2)( 2 + 1).
Рассмотрим первый квадратный трехчлен 2 2 + + 2.
|
√ |
|
. |
= 1 − 16 = −15 < 0 1,2 = |
−1± 15 |
||
4 |
|
||
Корни неполного квадратного трехчлена: 3,4 = ± .
Ответ:
√√
|
1 |
= |
−1 − |
15 |
; |
2 |
= |
−1 + |
15 |
; |
3 |
= |
− |
|
и |
|
4 |
= . |
4 |
|
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексному числу + можно поставить в соответствие точку плоскости с координатами ( ; ). Таким образом, если раньше мы говорили о вещественной оси, то теперь можем говорить о комплексной плоскости. Комплексные числа образуют векторное пространство, базисом которого являются вещественная единица 1 и мнимая единица , и складываются по правилу сложения векторов (с. 136): если 1 = 1+ 1 и
2 = 2 + 2, то 1 + 2 = ( 1 + 2) + ( 1 + 2) (рис. 25). Также = + .
Для задания точки на плоскости, кроме декартовых прямо-
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
139 |
Рис. 25. Сумма комплексных чисел
угольных координат, в математике часто используют и так называемые полярные координаты. Причем в повседневной жизни последние нам гораздо привычней. Действительно, если человек в лесу спросит у вас: «Как пройти в Ольховку?», то что вы ответите? Назовете координаты квадрата, в котором находится село? Нет! Вы скажете, что «это в двух километрах на северо-западе», т. е. укажете направление и расстояние относительно вашего текущего местонахождения. Это и есть полярные координаты. Мы введем их, отталкиваясь от декартовых. Пусть – точка плоскости с кординатами ( ; ) (рис. 26). Проведем из начала коорди-
|
|
|
|
|
|
|
нат в точку радиус-вектор −−→. Пусть радиус-вектор |
||||||
|
|
|
|
|
– длина |
|
|
2 |
+ |
2 |
|||
образует с осью угол , а = |−−→|= |
|
|
|
|||
вектора. Направление и расстояние |
образуют пару поляр- |
|||||
|
√ |
|
|
|
||
ных координат ( ; ), задающих положение точки . Для
140 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Рис. 26. Тригонометрическое представление комплексного числа
всех точек плоскости, кроме начала координат, имеет место взаимнооднозначное соответствие между парами координат
( ; ) и ( ; ), задаваемое уравнениями
= · cos ;
= · sin .
Комплексное |
число можно представить в тригонометри- |
||||||
|
|
|
|
|
|||
ческой форме: |
|
|
|
||||
|
|
|
= + = (cos + · sin ), |
||||
где = | |= |
|
|
2 + 2 |
|
называют модулем, а = ( ) |
||
– |
аргументом |
|
|
|
. Леонард Эйлер расширил область |
||
|
√числа |
|
|
||||
определения элементарных и ряда других функций на комплексную плоскость и установил тождество
= cos + sin ,
которое называют формулой Эйлера. Таким образом, в
теории функций комплексной переменной экспонен-