Материал: Алгебраические_уравнения

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 3.4. Комплексные корни многочлена

141

та выражается через тригонометрические функции и наоборот:

cos =

sin =

+ − ;

− − .

Отсюда еще одна форма представления комплексного числа

–экспоненциальная:

= + = (cos + · sin ) = = ln + .

Из формулы Эйлера следует интересное отношение

= −1.

На множестве вещественных чисел мы лишены возможности видеть эти связи, как человек, рассматривающий с берега моря живописные острова, не подозревает, что они всего лишь вершины сложной горной системы подводного царства. На комплексной плоскости «в порядке вещей» многое из того, что категорически запрещено на вещественной оси. Здесь существуют решения уравнений ( ) = 5, 2 = −3

и т. д. Конечно, и теперь мы рассматриваем комплексное число как некую абстракцию, но не в большей мере, чем число «три». Ведь числа «три» также в природе не существует! Естественно возникает вопрос: не придется ли для решения других уравнений, например 4 + 1 = 0, и даль-

142 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

ше расширять понятие «число». Оказывается, на множестве комплексных чисел любой многочлен, как с действительными, так и с комплексными коэффициентами, имеет корни. Однако вернемся к тригонометрической форме. Как найти аргумент и модуль комплексного числа? Если = + ,

√

то = | |= 2 + 2, а аргумет = ( ) можно определить, приняв во внимание, что (0; ), следующим образом (рис. 27):

	(
=		√		),	если ≥ 0;
			2+ 2
					,		< 0.
		(√ 2+ 2 )				если
	−

Рис. 27. Аргумент комплексного числа

202 Пример 4. Преобразовать комплексное число

= 2 + 2 в тригонометрическую форму.

§ 3.4. Комплексные корни многочлена

143

Решение:

√

Ответ:

2√2

cos (

(

)

+ sin

= 2 2

= 2 + 2 = 2

cos 4 + sin 4 .

(

)

Пример 5. Преобразовать комплексное число

202

= 3 + 4 в тригонометрическую форму.

Решение: | |=

√

= 5 = 3 + 4 = 5 53

+ 54

32 + 42

Ответ: 5(cos + · sin ), где = 53 .

(

)

Пример 6. Преобразовать комплексное число = 5 − 7

202

в тригонометрическую форму.

Решение:

√

−7

74(cos +

sin )

(

)

| |= 5 + 7 =

74 = 5

− 7 =

74 √74 + √74 .

Ответ:

√

, где

−

√

Операции сложения и вычитания комплексных чисел подчи-

няются правилу сложения и вычитания векторов (рис. 25).

Но формулы умножения и деления комплексных чисел вы-

глядят сложновато (с. 136).

Попробуем теперь выполнить эти операции с числами в три-

гонометрическом представлении. Пусть

1 = 1(cos + · sin ),

= 2(cos + · sin ).

Тогда 1 2 = 1 2(cos + · sin )(cos + · sin ) =

=1 2[(cos cos − sin sin )(cos sin + sin cos )] =

=| 1|| 2|(cos( + ) + sin( + )).

144 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (рис. 28).

Рис. 28. Умножение комплексных чисел

Аналогично

(cos + · sin )

(cos + · sin )(cos − · sin )

(cos + · sin )

(cos + · sin )(cos − · sin )

| 1

[cos(

−

) + sin(

−

)].

| 2

Следовательно,

| 1 2|= | 1|| 2|, ( 1 2) = ( 1) + ( 2),

2	=	\| 2	\|,	( 2 )		= ( 1) − ( 2).
1		1	\|		1
		\|	\|

В частности,

cos + · sin = cos − · sin .

§ 3.4. Комплексные корни многочлена

145

Поскольку целая степень числа означает многократное произведение,

= [ (cos + · sin )] = (cos + · sin ).

Последнее тождество известно как формула Муавра. Отрицательная степень

− = [ (cos + · sin )]− = 1 (cos − · sin ).

Пример 7. Найти девятую степень числа cos + sin .															202
Решение:												6		6
												6		6

					9
(cos		+ sin		)		= cos	9	+ sin	9	= cos	3	+ sin	3	= − .
(cos	6	+ sin	6	)		= cos	6	+ sin	6	= cos	2	+ sin	2	= − .

Ответ: − .

Пусть = (cos + · sin ) и требуется найти все решения

уравнения = (cos + · sin ).

(cos + sin ) = (cos( + 2 ) + · sin( + 2 ))

+ 2

= , = + 2

√ , =

где k=0,1,. . . , n-1. Следовательно,

0,1,··· −1

= √ (cos

+ · sin

+ 2

Источник: https://studfile.net/preview/16371093/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "