Материал: Алгебраические_уравнения

146 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Если принимает значения 0, 1, . . . −1, то – принимает различных значений. В следующем параграфе нам понадобятся все кубические корни из 1, т. е. все решения уравнения

= 1. Представим вещественную единицу в тригонометрической форме: = cos 2 + · sin 2 . Тогда

= cos 23 + · sin 23 , где = 0, 1, 2.

Кубические корни из единицы показаны на диаграмме (рис. 29).

√

Таким образом, 1 = 1, 2,3 = −1±2 3 .

Рис. 29. Кубические корни единицы

где = 0, 1, 2. Подставляя поочередно в правую часть ра-

венства значения , получим

Прежде чем перейти к следующему вопросу, коротко коснемся проблемы графического представления многочлена, определенного на комплексной плоскости. Пусть дан многочлен с вещественными коэффициентами ( ) = 3 + 2 + +1

от комплексной переменной = + . Его график для действительных значений , т. е. для = , изображен на рис. 30г. Как видно на графике, многочлен имеет один вещественный корень = −1. Теперь рассмотрим комплексные значения = + . В таком случае и ( ) – комплексное число. Для построения графика функции, отображающей комплексную плоскость на комплексную плоскость, нам пришлось бы выйти в четырехмерное пространство, но мы поступим проще, рассмотрев отдельно графики [ ( )]

и [ ( )], т. е. графики действительной и мнимой частей функции ( ). Каждый график – это поверхность в трехмерном пространстве, а поверхность можно задать линиями уровня, как на географической карте. Такой график мы уже видели на рис. 13а (с. 73). График вещественной части

148 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Рис. 30. Графики многочлена 3 + 2 + + 1

( ) показан на рис. 30а, комплексной – на рис. 30б. Обратите внимание на нулевые линии уровня. На рис. 30б одна из таких линий задана уравнением = 0, поскольку действительным значениям соответствуют действительные значения функции. Корнями многочлена будут те значения , для которых одновременно [ ( )] = 0 и [ ( )] = 0, т. е. точки пересечения нулевых линий уровня, представленных на рис. 30а и 30б. На рис. 30в мы разместили оба графика на одной комплексной плоскости. Сплошные линии уровня соответствуют действительной, а пунктирные – комплексной

§ 3.5. Формула Кардано

132 161 Несмотря на последние достижения в области кораблестроения и судовождения, в хорошем мореходном училище курсантов обязательно учат ходить под парусом, поскольку только так они смогут почувствовать море. Вот и нам формулы Кардано и Феррари помогут «почувствовать» алгебраические уравнения. Формула Кардано служит для нахождения корней многочленов третьей степени. Согласно теории (с. 135), такой многочлен имеет три комплексных корня. При этом, как показано на рис. 21 (с. 126), у много-

150 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

члена с вещественными коэффициентами может быть один вещественный (рис. 21а и 21д) или же три вещественных корня. Если все корни вещественные, возможны случаи: все корни простые (рис. 21в), существует корень второй (рис. 21б и 21г) или третьей (рис. 21е) кратности. Пусть дано уравнение, в левой части которого находится многочлен третьей степени с вещественными коэффициентами,

3 + 2 + + = 0.

Путем подстановки = −3 перейдем к уравнению с неполным многочленом в левой части 3 + + = 0. Теперь сделаем еще одну подстановку = − 3 , в результате которой получим:

Последнее уравнение является квадратным относительно 3.

I. В случае положительного дискриминанта его решения:

вещественное и два комплексно-сопряженных. Эти решения