Материал: Алгебраические_уравнения
§ 1.3. Системы двух уравнений |
31 |
Текст « » над знаком равенства означает «равно по определению». Таблица, ограниченная двумя вертикальными отрезками в левой части равенства, называется определителем второго порядка, или просто определителем. Впервые понятие «определитель» для решения систем линейных уравнений ввел Лейбниц, но эти работы не были им опубликованы. В 1748 г. в одном из своих трактатов Маклорен фактически использовал определители для решения систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными.
Составим определитель из коэффициентов левой части системы уравнений (1) на с. 28. В дальнейшем будем называть его главным определителем системы и обозначать:
= 1 1 = 1 2 − 2 1.
2 2
Для обозначения определителя мы использовали греческую букву «дельта». Именно от этой буквы когда-то произошли
илатинская «D», и русская «Д», и даже «дельта реки». Теперь запишем еще два определителя – и («дельта »
и«дельта »):
= |
2 |
2 |
= 1 2 − 2 1 |
и = |
2 |
2 |
= 1 2 − 2 1. |
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Первый получается из главного путем замены столбца коэффициентов при на столбец свободных членов, второй – заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов. Теперь выражения (2) можно записать в виде
= ; |
(3) |
|
|
= .
Новая символика избавила нас от необходимости помнить сложную формулу и записывать длинную цепочку преобразований. Для закрепления навыка стоит прорешать несколько систем. Тогда решать эту задачу по-другому вам не захочется. Метод обладает еще одним замечательным свойством
– прозрачностью. Здесь трудно сделать такую ошибку, которую нельзя было бы сразу найти.
188 Пример 1. Решить систему уравнений
2 − 3 = 4;
3 + = 1.
Решение. Найдем определитель:
2 −3
= = 2 · 1 − 3 · (−3) = 11 ̸= 0.
3 1
§ 1.3. Системы двух уравнений |
|
|
|
|
33 |
|||||
= |
1 |
1 |
|
= 4·1−1·(−3) = 7 и = |
3 1 |
= 2·1−3·4 = −10. |
||||
|
|
4 |
−3 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда из равенств (3) следует
Ответ:
= 117 ;
= −1011 .
Пример 2. Решить систему уравнений |
188 |
2 − 3 = 4;
4 − 6 = 8.
Решение. Найдем главный определитель:
= |
2 |
|
3 |
= 0. |
4 |
−6 |
|||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений. В нашем случае 24 = −−36 = 48 . Значит, уравнения эквивалентны и решение – бесконечное множе-
ство пар вещественных чисел.
Ответ: {( , )|2 − 3 = 4; , }.
Пример 3. Решить систему уравнений |
188 |
2 − 3 = 4;
4 − 6 = 7.
34 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
||||
Решение. Найдем главный определитель: |
|||||
|
= |
4 |
−6 |
= 0. |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений. В нашем случае 24 = −−36 ̸= 47 .
Ответ: система не имеет решения.
189 Пример 4. Решить систему уравнений с параметром
2 + = + 2;
( + 1) + 2 = 2 + 4.
Решение:
= |
|
2 |
|
= 4 − 2 − = − · ( − 3). |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
2 |
|
|
|
|
1) При = 0 и = 3 главный определитель = 0. |
|
||||||
|
1.1) = 0 |
= 4 |
|
|
Решений нет. |
|
|
|
2 = 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2) = 3 |
|
2 + 3 = 5 |
{ |
( , ) 2 +3 = 5; , |
. |
||
|
4 + 6 = 10 |
|
| |
} |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.4. Системы трех и более уравнений |
35 |
2) ̸= 0, т. е. ( ̸= 0)&( ̸= 3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ 2 |
|
= 2 2 + 4 − 2 2 − 4 = 0. |
|
|
|
2 + 4 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
= |
2 + 4 |
= 4 + 8 − 2 − 3 − 2 = −( − 3)( + 2). |
|||||
|
|
2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
=
|
|
= |
+2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
||
1) |
|
при = 0. |
|
|
||
2) |
{( , )|2 + 3 = 5; , } |
при = 3. |
|
|||
|
|
= |
0 |
̸ |
̸ |
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
= |
+2 |
при ( = 0)&( = 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи к параграфу на с. 188, п. 2–3. |
|
|||||
§ 1.4. Системы трех и более уравнений
28 45 Широкий класс технических и экономических задач связан с решением больших систем линейных уравнений. Так, при проектировании ферм моста количество уравнений может достигать нескольких тысяч. Разумеется, до появления электронно-вычислительной техники напрямую такой вычислительный процесс организовать было нереаль-