Курсовая работа (т): Анализ и прогнозирование временного ряда развития строительства Тюменской области

По данным табл. 2.15 уравнение тренда =779506,87+9318,27t, где ti отсчитываются от начала ряда. Взвешенные индексы сезонности составляют:

для I квартала:

для II квартала:

для III квартала:

для IV квартала:

Умножив уровни тренда соответствующих кварталов на эти средние индексы сезонности (в разах), получаем уровни, учитывающие и тренд, и сезонные колебания, обозначенные как .

Далее можно вычислить средние за 3 года показатели силы сезонных колебаний:

=55195,01

=

что говорит об умеренной колеблемости. При этом учтена потеря двух степеней свободы колебаний (по числу параметров линейного тренда).

С учетом наличия сезонных колебаний общую сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от среднего уровня за весь изучаемый период можно разложить на составляющие элементы:

.  - сумму квадратов отклонений за счет тренда (за счет фактора времени);

.  - сумму квадратов отклонений за сезонности.

.  - сумму квадратов отклонений за счет случайных колебаний.

Таким образом (формула (2.21)):

                               (2.21)

Рассчитаем эти суммы для данного примера (табл. 2.14).

Таблица 2.14 Расчет величин для разложения общей суммы квадратов отклонений фактических уровней от их средней ( = 16523,75 )

Используя формулу (2.21), разложим общую сумму квадратов отклонений уровня от средней величины за весь период на составляющие элементы. При этом ввиду округления всех уровней в табл. 2.16 точного равенства не получится, но расхождение сумм квадратов менее одной тысячной совершенно не существенно для выводов о процессе.

Общая сумма квадратов или 100%

в том числе за счет тренда

за счет сезонности

за счет случайной колеблемости

На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайные колебания в исходном ряду были весьма незначительны. Основные факторы колеблемости уровней исследуемого ряда - тренд и сезонность.

.3 Автокорреляция в рядах динамики. Построение моделей авторегрессии

Во многих рядах динамики можно наблюдать зависимость t-го уровня от предшествующих . Например, урожайность сельскохозяйственных культур в отдельные годы также может быть связана с урожайностью в предшествующие периоды.

Зависимость между последовательными (соседними) уровнями ряда динамики называется в статистике автокорреляцией. Исследование рядов на автокорреляцию - одна из частных, но важных задач при статистическом изучении рядов динамики. В частности, если установлено наличие автокорреляции, то эту зависимость можно выразить уравнением авторегрессии. В отдельных случаях приходится устранять влияние автокорреляции на взаимосвязь между исследуемыми показателями. Так возникает необходимость измерения автокорреляции.

Измерить автокорреляцию между уровнями ряда можно с помощью коэффициента автокорреляции , исчисленный по формуле парного линейного коэффициента корреляции:

                                             (2.22)

Коэффициент автокорреляции  можно рассчитывать либо между соседними уровнями, либо между уровнями, сдвинутыми на любое число единиц времени т. Этот сдвиг, именуемый временном лагом, определяет порядок коэффициента автокорреляции: 1-го порядка при т == 1, т.е. между соседними уровнями; 2-го порядка при т == 2, т.е. при сдвиге уровней на 2 периода, и т.д.

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

Если исходные фактические уровни ряда, относящиеся к определенному моменту времени (или периоду) t обозначить через, то сдвинутые уровни (в зависимости от направления сдвига) соответственно обозначают  или Тогда формулу коэффициента автокорреляции можно записать в двух вариантах:

                                                                       (2.23)

Предпочтение обычно отдается второй формуле. При достаточно большом числе уровней ряда значения средних уровней и средних квадратических отклонений у исходного и сдвинутого рядов практически совпадают, т. е. и

Используя эти равенства и отдавая предпочтение средней и дисперсии , рассчитанным для всех членов исходного ряда, получим приближенную формулу коэффициента автокорреляции:

                                                                        (2.25)

или тождественную ей

                                                                 (2.26)

Чтобы иметь возможность пользоваться данными формулами для коротких рядов, у которых первый и последний уровни отличаются незначительно, сдвинутый ряд условно дополняют, принимая  (чтобы сдвинутый ряд не укорачивался и чтобы средний уровень и дисперсия одного ряда были соответственно равны среднему уровню и дисперсии второго ряда).

Расчет коэффициента автокорреляции приведен на условном примере, известны данные о размерах посевной площади по Тюменской области Таблица 2.15

По итоговым данным табл. 2.1.5. найдены:

; ; ;

Полученные значения необходимо подставить в формулу (2.25)

Тат же результат будет получен и при использовании формулы (2.26)

Найденное значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не говорит о наличие или отсутствии автокорреляции. Его необходимо сравнить с критическим.

Фактическое значение коэффициента автокорреляции  необходимо сравнить с табличным (критическим).

Рассчитанное в данном примере значение коэффициента автокорреляции =0,67 сравнивается с табличным при 5-процентном уровне значимости, для =14 при а = 0,05 критическое значение коэффициента автокорреляции равно 0,335. Так как рассчитанное значение  (0,67) больше табличного (0,335), то с вероятностью Р =0,95 (Р =) можно сделать вывод о наличии автокорреляции в исследуемом ряду .

Часто приходится решать вопрос о наличии или отсутствии автокорреляции не между уровнями ряда, а между их отклонениями и от тренда или от среднего уровня, т. е. между так называемыми остаточными величинами. Сумма таких остаточных величии и средняя из них равны нулю.

Из формулы (2.26) коэффициент автокорреляции, для рядов со средним уровнем равным нулю, равен: (2.27)

Формула коэффициента корреляции для остаточных автокорреляции для остаточных величин примет вид:

                                                                                (2.28)

Кроме показателя , для обнаружения автокорреляции между соседними остаточными величинами часто используется критерий, разработанный Дурбиным и Ватсоном.

Критерии Дурбина-Ватсона, обозначаемый как (иногда DW), рассчитывается по формуле

                                                                       (2.29)

Этот показатель можно связать с формулой (2.28) коэффициента автокорреляции для остаточных величин. Так, если предположить, что то, возведя в квадрат числитель критерия , можно записать

(2.30)

Очевидно, что если автокорреляция отсутствует, т. е. = 0, то = 2. Если же имеет место полная автокорреляция, т. е. равен 1 или -1, то значение будет соответственно 0 или 4.

Для того чтобы иметь возможность более точно судить об отсутствии автокорреляции в остаточных величинах , составлена таблица, в которой для разного числа наблюдений и числа независимых переменных в уравнении регрессии определены верхнее и нижнее критические границы критерия .

Для проверки нулевой гипотезы об устранении автокорреляции в остаточных величинах рассчитанное фактическое значение сравнивается с табличными и :

) если (до 4- ), гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

) если , гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

) если  или (4 - ), ничего определенного сказать нельзя и требуется дальнейшее исследование;

) если , имеет место отрицательная автокорреляция.

Для иллюстрации расчета критерия Дурбина-Ватсона , а также  используются данные табл. 2.1.4.

На основе фактических и выровненных уровней рассчитываются остаточные величины их необходимо проверить на автокорреляцию. Расчеты представлены в табл. 2.1.6.

При аналитическом выравнивании рядов динамики остаточные величины проверяются на автокорреляцию. Цель проверки - определить адекватность подобранной функции (линии тренда), используемой для отражения тенденций развития в исследуемый период. Если в остаточных величинах обнаруживается автокорреляция, это признак неадекватности выбранного уравнения тренда.