Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ника (на рис.2.4 i = 1,2,3), ограниченного графиком vix(t), осью времени от начального (tiн) до конечного (tiк) моментов времени и отрезками прямых t = tiн и t = tiк, причем знак xi определяется зна-

ком vix.

Графики зависимости координаты м.т. от времени при различных (как по знаку, так и по величине) проекциях скоростей vix приведены на рис. 2.5. Тангенс угла наклона i-го отрезка прямой к оси времени пропорционален i-й проекции скорости:

tgα = кгрv1x > 0 (α > 0), (2.17) tg β = кгрv3x < 0 (β < 0). (2.18)

vx
v1x
	x1	>0	t3н		t3к
	t1н		t3н		t3к
О	t1н	t1к		x3<0	t
				x3<0
v3x
		Рис. 2.4
x
	x1(t)			β
x1н	α			β
	α

				x3(t)
О t1н		t1к t3н			t3к t
		Рис. 2.5

Скорости материальной точки относительно разных систем отсчета

Пусть система отсчета К′ (рис.2.6) движется относительно системы отсчета К с постоянной скоростью vк′к, материальная точка движется относительно системы отсчета К со скоростью vтк и относительно системы отсчета К′ со скоростью vтк'.

Радиус-векторы, перемещения и скорости материальной точки в различных системах отсчета связаны соотношениями:

rтк = rтк′ + rк′к ,			(2.19)	y	y′	vк′к	vтк	v ′
rтк =	rтк′ +	rк′к ,	(2.20)		K′	vк′к		кк
rтк =	rтк′ +	rк′к ,	(2.20)		K′	r	vтк′
vтк = vтк′ + vк′к ,			(2.21)	K	О′	тк′	vтк′
				K

					rк′к	rтк		x′
где индексы означают следующее:					rк′к	rтк		x′
где индексы означают следующее:
тк — м.т. относительно системы
отсчета К, тк′— м.т. относитель-				О				x
но системы отсчета К′, к′к— сис-						Рис. 2.6
			11

тема К′относительно системы К, (vтк называется также абсолют-

ной, vтк′ — относительной, а vк′к — переносной скоростью).

Скорости относительного движения материальных точек

Если известны скорости движения материальных точек отно-

	y					сительно некоторой системы отсче-
	y					та К (рис.2.7), то скорость i-й м.т.
	K			vj		относительно j-й м.т.
	K		vi	vj		vij = vi − vj.	(2.22)
			vi			vij = vi − vj.	(2.22)
					x	На рис.2.8,а показана скорость
	О				x	На рис.2.8,а показана скорость
			Рис. 2.7			vij, а на рис. 2.8,б — скорость j-й
						м.т. относительно i-й м.т.
			vi	vi		vji = vj − vi.	(2.23)
vij			vi	vi		Относительные скорости	мате-
vij			vji			Относительные скорости	мате-
			vj	vj		риальных точек направлены в про-
		a)		б)		тивоположные стороны, а их модули
		a)	Рис. 2.8	б)		равны:
						vij = −vji.	(2.24)

§3. Ускорение

Среднее ускорение <a> — ВФВ, равная отношению приращения скорости v к промежутку времени t, за который это приращение произошло:

a =	v .	(3.1)
	t

Ускорение (мгновенное) a — ВФВ, равная пределу отношения приращения скорости v к промежутку времени t, за который это приращение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

a = lim	v	=	dv	.	(3.2)
	t
t→0			dt

Единица ускорения — метр на секунду в квадрате: [ a ] = м/с2 . Ускорение может быть разложено на тангенциальное aτ и нор-

мальное an ускорения (рис.3.1,а и 3.1,б):

a = aτ + an.

(3.3)

Траектория О		aτ	v	aτ	О	v
a)	an	α	τ	б)	α	τ
					a n
			a	a		Траектория
		n			n
			Рис. 3.1

Тангенциальное ускорение характеризует изменение модуля

скорости. Оно направлено по касательной к траектории:

aτ = aττед,

(3.4)

aτ — проекция ускорения на ось Оτ (см. рис.3.1), совпадающей по направлению со скоростью v; она равна пределу приращения модуля скорости v к промежутку времени t, за который это приращение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

aτ = lim	v	=	dv	;	(3.5)
	t		dt
t→0

τед — единичный вектор, направленный по оси Оτ:

τед	=	v	.	(3.6)

		v

Проекция ускорения на ось Оτ может быть больше нуля (рис.3.1,a), меньше нуля (рис.3.1,б) или равна нулю (при равномерном движения м.т. по окружности — §7).

Модуль тангенциального ускорения равен модулю проекции ускорения на ось Оτ:

	aτ		=		aτ		.	(3.7)

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно перпендикулярно скорости м.т. и направлено к

центру кривизны траектории:

an = annед,

(3.8)

где an — проекция ускорения на ось Оn, направленной к центру кривизны траектории (см. рис.3.1):

an =	v2	,	(3.9)
	R

где R — радиус кривизны траектории в данной точке, nед — единичный вектор, направленный по оси Оn.

Проекция ускорения на ось Оn всегда положительна и равна модулю нормального ускорения:

	M		an =	an	.	(3.10)

M1			Для определения центра и радиуса кри-
	M
	2	визны траектории в т.М (рис.3.2) на траек-

		тории берутся две близкие к т.М точки М1 и
		М2	и через эти три точки			проводится ок-

Cружность. Центром этой окружности является точка пересечения перпендикуляров к

Рис. 3.2	серединам отрезков ММ1 и ММ2 – точка С.
	При сближении точек М1 и М2 с точкой М,

точка С будет стремиться к некоторому предельному положениюточке С0 (на рис.3.2 не показана). Точка С0 называется центром кривизны траектории в т.М, а предельное значение радиуса окружности радиусом кривизны траектории в т.М.

Модуль ускорения материальной точки

a = a2τ + a2n ,

угол между ускорением и скоростью (см. рис.3.1)

α = arctg n .

aτ

(3.11)

(3.12)

Угол между скоростью и ускорением материальной точки может изменяться от нуля до 180°.

Ускорения в различных систе-		y		y′	a тк	aк′к
мах отсчета связаны равенством:				K′	rтк′
aтк = aтк′ + aк′к ,	(3.13)	K	a ′			aтк′
			кк	rк′к	О′
где aтк ускорение м.т.	относи-					x′
					rтк
тельно системы отсчета К (рис.3.3),

aтк′ ускорение м.т. относительно		О				x
системы отсчета К′, aк′к	уско-			Рис. 3.3
рение системы отсчета К′	относи-

тельно системы отсчета К.

§4. Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — движение, при котором за лю-

бые равные промежутки времени приращения скорости материальной точки одинаковы.

При равнопеременном движении:

ускорение

<a> = a = const,	(4.1)
скорость
v = vн + a t,	(4.2)

радиус-вектор

r = r	+ v		t +	a (	t)2	.	(4.3)
		н

н					2
					2

Равнопеременное прямолинейное движение равноперемен-

ное движение, при котором приращения скорости коллинеарны скорости материальной точки.

При равнопеременном прямолинейном движении ускорение является тангенциальным (нормальное ускорение равно нулю):

a = aτ (an = 0),

(4.4)

согласно равенствам (4.1), (4.2) и (4.3) проекция ускорения

ax = const,

(4.5)

Источник: https://studfile.net/preview/16708633/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27