МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. И. Ряжских, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева, М. Л. Федюнин
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Учебное пособие
Воронеж 2020
УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.1я7
Д503
Рецензенты:
кафедра математического анализа Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А. Д. Баев); д-р техн. наук, проф. С. Ю. Панов
|
Ряжских, В. И. |
|
|
Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие |
|
Д503 |
[Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (2,1 Mб) / |
|
В. И. Ряжских, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева, М. Л. Федюнин. – |
||
|
||
|
Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический |
|
|
университет», 2020. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв. – Систем. |
|
|
требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA |
|
|
с разрешением 1024×768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – |
|
|
Загл. с экрана. |
ISBN 978-5-7731-0853-5
Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал таких разделов математического анализа, как введение в начало математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Изложение теоретического материала сопровождается выводом и доказательством всех разделов.
Издание предназначено для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной формы обучения.
Ил. 12. Табл. 2. Библиогр.: 4 назв.
УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.1я7
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0853-5 © Ряжских В. И., Ряжских А. В., Соболева Е. А., Федюнин М. Л., 2020
©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2020
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие представляет собой теоретические аспекты математического анализа. Представленный материал служит основой для решения задач рассмотренного курса.
Учебное пособие является концентратором основных положений теоретического характера с подробной иллюстративной и практической направленностью, адаптированной на широкую предметноориентированную студенческую аудиторию, обучающуюся по различным образовательным техническим программам специалитета, в том числе аэрокосмической подготовки инженеров высокой квалификации, обладающих глубокими знаниями в использовании математического аппарата как инструментария выполнения проектов повышенной сложности.
Список обозначений:
□ ■ – начало и конец доказательства.
3
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.1. Основные понятия
Определение. Под множеством будем понимать совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, будем называть его элементами. Будем обозначать A, B,...,X ,Y – множества, a,b,...,x, y – элементы.
Запись: x X – ″x принадлежит X″;
x X – ″x не принадлежит X″.
Замечание. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
Определение. Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент А является элементом множества В. Обозначение:
A B.
Определение. Множества А и В равны A B , если они состоят из одних и тех же элементов.
Определение. Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:
A B A B .
Определение. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и множеству B. Обозначение:
A B A B .
Логические символы: – ″из следует ″; – ″для любого″; – ″существует″; : – ″имеет место″.
1.2. Числовые множества. Множества действительных чисел
Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.
N 1, 2,3,..., n,... – множество натуральных чисел.
Z0 0,1, 2,3,..., n,... – множество целых неотрицательных чисел.
4
Z 0, 1, 2,..., n,... – множество целых чисел.
m |
|
|
|
Q |
|
: m Z, n N |
– множество рациональных чисел. |
|
|||
n |
|
|
|
R – множество действительных чисел.
Справедливо соотношение: N Z0 Z Q R.
Замечание. Множество R содержит рациональные и иррацио-
нальные числа и обладает следующими свойствами: |
|
1) оно упорядоченное, т.е. a,b: a R, b R a b |
или a b ; |
2) оно плотное: между a и b R содержится бесконечное множество действительных чисел;
3) оно непрерывное.
1.3.Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть a,b R a b .
Определение. Числовыми промежутками называются подмно-
жества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
a,b x: a x b – отрезок;
a,b x: a x b – интервал;
a,b x: a x b , a,b x: a x b – полуоткрытые интервалы (или отрезки);
,b , a, – символы « » обозначают неограниченное удаление чисел вправо или влево.
Определение. Пусть x0 R. Окрестностью точки x0 называется любой интервал a,b , содержащий x0. Если a x0 , b x0 , то интервал называется – окрестностью (x0 – центр, – радиус).
Записи вида – эквиваленты.
5