Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x b.

Найдем работу, произведенную силой F при перемещении точки М из положения x a в положение

1. Если F const, то

A F b a .

2. Пусть F F x непрерывная на a,b , тогда выберем

xi ii 0n

и на xi 1, xi

Ai F xi xi .

Отсюда

Ai .

i 1

В силу того что F x непрерывна, то

			n
A lim	lim		F xi xi
0	max x	0	i 1
	i		i 1

F x dx.

Пример. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на

5 см, если для сжатия ее на 1		см нужна сила 10 Н.
Решение. Сила F и перемещение х связаны по условию
зависимостью F kx;	где	k const.			При x 0,01;	F 10, т.е.
10 k 0,01 k 1000	F 1000x, тогда
0,05			x	2	0,05

A 1000x dx 1000					1, 25 Дж.

0		2			0

24. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

24.1. Несобственный интеграл I рода

Рассмотренные выше определенные интегралы, у которых промежуток интегрирования a,b конечный, а подынтегральная функция непрерывна, называются собственными интегралами.

Теперь рассмотрим определенные интегралы, которые назовем несобственными, т.е. определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечным промежутком интегрирования или с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Определение. Пусть f x		непрерывна на		a, . Если сущест-

вует
	b
lim	f x dx		f x dx,
b	a	a
	a	a

то он называется несобственным интегралом первого рода.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предела не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на ,b .

	b			b
		f x dx lim		f x dx.
			a	a
				a

	Теорема. Если	на	a,	f x и g x	непрерывны и
0 f x g x , то
0 f x g x , то
					x dx;
	из сходимости g x	dx следует сходимость f			x dx;
	a			a

	а из расходимости f x		dx следует расходимость g x dx.
	a				a

□ Рассмотрим
			b
		lim	g x dx A
		b	a
			a

	f x dx A, а это означает, что
	a
		b	x dx B B A .
	lim f		x dx B B A .		■
	b

Следствие. Если существует		предел	lim
f x 0,	g x 0, то интегралы

	f x dx	и g x	dx
	a	a

одновременно сходятся и расходятся.

(Без доказательства)

f x	k, 0 k ,
g x

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

			dx		b			1		b	0 1 1.
					b					b
				lim	x 2dx lim
		2		lim	x 2dx lim
1.	1		x	b	1		b x			1
1.	1				1					1
			dx		b	dx
				lim			lim ln x		1b		.


2.	1 x			b	1	x	b
2.	1 x				1	x

3.Сходится ли интеграл 1 x2 1 3x .

При x 1 имеем

но

данный

интеграл сходится.

24.2. Несобственный интеграл II рода

Определение. Пусть f x

непрерывна

на a,b

и lim f x .

x b

Если существует конечный интеграл

lim f x dx,

то его называют несобственным интегралом второго рода.

b	b
f x dx lim		f x dx.
0
a	a
93

Сформулируем признаки сходимости для несобственных

интегралов II рода.

	Теорема.	Пусть f x		и x непрерывны на a,b и при x b :
lim f x lim x ,			причем 0 f x x ,тогда
x	x
из сходимости (расходимости)
				b
				x dx
				a
вытекает сходимость (расходимость) интеграла
				b		x dx.
				f		x dx.
				a


	Теорема.	Пусть	f x		и	x непрерывны	на a,b и
lim f x lim x , тогда, если существует, то
x b	x b			f x
			lim	f x	k, 0 k ,
			lim	x	k, 0 k ,
			x b	x
			b			b
то			f x dx			и x dx
			a			a

одновременно сходятся или расходятся.

но

Пример. Сходится ли интеграл 1

sin x

Решение. f x

на 0,1 имеет разрыв в точке х = 0.

sin x

lim

limln x

0 limln ,

0 x

lim

f x

lim

x b

x 0 sin x

расходится.

sin x

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учебное пособие является концентратором основных положений теоретического характера с подробной иллюстративной и практической направленностью, адаптированной на широкую предметноориентированную студенческую аудиторию, обучающуюся по различным образовательным техническим программам специалитета, в том числе аэрокосмической подготовки инженеров высокой квалификации, обладающих глубокими знаниями в использовании математического аппарата как инструментария выполнения проектов повышенной сложности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – М.: Высш. школа, 1981. – 687 с.

2.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.

3.Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. –

Т.1. – 616 с.

4.Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. –

Т.2. – 810 с.

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27