Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Определение. Число b является верхней (нижней) гранью для

xn , n N, если:	1)		xn b xn b ; 2)	0	n : xn a

(соответственно xn	a ).

Обозначение: sup xn inf xn .
	n N		n N
	n N
Определение.	x		называется возрастающей		(убывающей)
	n	если n N : xn xn 1 xn xn 1 . Возрастающие
последовательностью,		если n N : xn xn 1 xn xn 1 . Возрастающие

и убывающие последовательности называются монотонными.

Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая (убывающая) последовательность xn имеет конечный предел, если она ограни-

чена сверху (снизу), и бесконечный предел, равный , если она

не ограничена сверху (снизу), причем

lim xn sup xn lim xn

inf xn .

n N

□ Пусть xn : xn xn 1;

sup xn a. Покажем, что lim xn

sup xn

n N

Возьмем 0. Из

a n N: xn a

и n : xn

a .

n N

xn n n

Тогда

в силу

возрастания

будем

иметь:

a xn

x n a. Поэтому n n

xn a

, т.е. lim xn a.

■

Следствие. Для того чтобы возрастающая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху.

Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей последовательности.

Пример.

Пусть

xn 1

n N.

Покажем, что эта последо-

вательность сходится.

Решение. В формуле Бинома Ньютона

n 1

n 2 2

n n 1 n 2 ... n n 1

a b

...

1 2

1 2 3 ... n

Положим, a 1; b							1	,		тогда
Положим, a 1; b							n	,		тогда
	1						n										1												1
	1	n		n 1													1												1
		n							n				n		1					n		n 1			n 2
1		1																													...
1		1										1						2					1 2		3				n	3	...
	n			1 n								1		2 n									1 2		3				n
			n n 1 n 2 ... n n 1																							1
		...																								1
		...								1 2 3 ... n																nn
				1						1							1						1				2
	1 1					1													1					1				...
	1 1					1					n								1					1			n	...
			1		2						n				1 2 3								n				n
					1										1					2						n 1
	...											1					1				... 1							.
	...											1				n	1				... 1						n	.
		1 2		3 ... n												n				n							n

Покажем, что она ограниченная. Заменим каждую круглую скобку на 1, тогда правая часть увеличится и поэтому

	1 n	1 1	1	1	...	1
1							.
			1 2	1 2 3		1 2 3 ... n
	n

Еще больше усилим последнее неравенство, заменив 3, 4, 5,…

на 2, тогда
	1 n		1	1			1
1		1 1				...			.
1		1 1	2	2	2	...	2	n 1	.
	n		2	2			2

Т.к. в выражении в скобках правой части неравенства – геометрическая прогрессия, то

							1		1			1 n
							1		1
															1
	1 1				1							2			1
1				...									2	1			2,
1	2	2	2	...	2	n 1					1		2	1	2	n	2,
	2	2			2					1	1				2
										1	2
поэтому
								1 n
					2 1					1 2 3
					2 1					1 2 3
								n

xn имеет предел,

lim 1

и он обозначается через «е», т.е.

1 n e 2,718281828459045....

4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

4.1. Предел функции в точке

Пусть y = f(x) определена в окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0.

	Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
	Число А называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или
при x x0 , если xn допустимых значений			аргумента xn , n N
xn	x0 , сходящейся к	x0 т.е. lim xn x0 ,	последовательность
		n

соответствующих значений функции

f xn , n N сходится к числу А

т.е. lim f xn A .

Записывают так:

lim f x A.

x x0

Определение 2 (на « языке », или по Коши).

Число А называется пределом функции в точке x0 (или при

x x0 ,

если

0 0, что x x0:

x x0

выполняется

f x A

Пример. Доказать, что lim 2x 1 5.

x 3

найдем 0 такое, что

Решение.

Возьмем 0, тогда

2x 1 5

т.е.

x 3

выполняется неравенство

Взяв

, видим, что x:

x 3

выполняется

неравенство

2x 1

lim 2x 1 5.

x 3

Пример. Доказать, что если f x c,

то limc c.

x x0

Решение. 0 можно взять 0, тогда при

x x0

, x x0

имеем

f x c

c c

0 limc c.

x x0

4.2. Односторонние пределы

В	определении	предела	функции lim f x A считается, что
			x x0
x x0	любым способом: оставаясь меньшим, чем x0, большим, чем
x0, или колеблясь около точки x0.
Бывают случаи,		когда	способ x x0 существенен (будет

показано позже), поэтому вводят понятие односторонних пределов.

Определение.	Число А1 называется пределом функции y = f(x)
слева в точке x0,	если	0		0, что при x x0 ,		x0 ,
выполняется неравенство			f x A1		.
выполняется неравенство			f x A1		.
Запись:				f x A1.
			lim	f x A1.
			x x0 0

Аналогично определяется предел функции y = f(x) справа. Запись:

lim f x A2 .

x x0 0

Пределы справа и слева называются односторонними пределами.

Замечание. Очевидно, если существует lim f x A, то суще-

x x0

ствуют и односторонние пределы, причем А=А1=А2. Справедливо и обратное утверждение.

4.3. Предел функции при x

Определение. Пусть y = f(x), где x , . Число А называ-

ется пределом функции f(x)				при x , если		0	M 0,
				x A	.
что x :	x	M , выполняется	f
что x :	x	M , выполняется	f

Запись:
lim f x A или	lim f x A.
x	x

4.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Определение.	y = f(x) называется бесконечно				большой при
x x0 , если M 0 M 0, что x 0:			0	x x0		, выполня-
x x0 , если M 0 M 0, что x 0:			0	x x0		, выполня-
	f x	M .
ется неравенство	f x	M .

Запись:

lim f x .

x x0

5.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)

5.1. Определение и основные теоремы

Определение. y = f(x) называется бесконечно малой при x x0 ,

если

lim f x 0.

x x0

Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть

б.м.ф.

□

Пусть x , x б.м.ф.

при

x x0 ,

т.е.

lim x 0,

x x0

т.е.

1 0, что x:

x x0

1 ,

выполняется

неравенство

Аналогично

для

x ,

т.е.

lim x 0,

x x0

Пусть

min ,

, тогда x: 0

x x

, выпол-

одновременно, т.е.

нены

x x

2 .

■

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Очевидно, что x

– возрастающая, при




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27