Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.ФУНКЦИЯ

2.1. Понятие функции

Понятие функции вводится для установления зависимости между элементами двух множеств.

Определение. Пусть X ,Y . Соответствие f, которое каждому x X сопоставляет единственный y Y , называется функцией и записывается y f x или f : X Y . f отображает X на Y .

X – множество – область определения, Y – область значений.

2.2.Числовые функции. График функции. Способы задания функций


	Пусть		f : X Y ,		X ,Y R, тогда f называется числовой функцией,
и для краткости будем писать y f x ,						где x – аргумент; y – функ-
ция. Эквивалентно: y y x . Если x a,						то f(a).
	Определение. Графиком функции y f x называется множе-
ство	точек		на	Oxy,	для каждой из		которых x	– аргумент,
y – функция.
	Способы задания: аналитический, графический, табличный.
2.3.	Основные характеристики функций
	Определение. Пусть y f x , x D,						называется	четной, если
x D : x D и				f x f x , нечетной			f x f x .
	Определение. Пусть y f x , x D и D1 D.
Если x1,x2 D1 x1 x2					f x1 f x2 , то f – возрастающая на D1;
если	f x1	f x2		– неубывающая; если			f x1 f x2 – убывающая;
если	f x1	f x2		– невозрастающая.

Определение. Возрастающие, неубывающие, убывающие, невозрастающие функции называются монотонными, а их интервалы –

интервалами монотонности.

Определение.

y f x , x D называется

ограниченной,

если

M 0, x D

f x

M .

Определение.

y f x , x D называется

периодической,

если

T 0, x D: x T D,

f x T f x , T – период.

2.4.

Обратная функция

Определение. Пусть y f x , x D,

y E. Если y E x D,

то

x y – обратная

функция

для

f x . Также

записывают

x y f 1 y .

Замечание. Взаимно однозначное соответствие возможно

только, когда f – строго монотонна.

2.5.

Сложная функция

Определение.

Пусть y f u , u D; u x , x D1, причем

x D u x D, тогда на D

определена

y f

x которая

называется сложной функцией.

2.6.Основные элементарные функции

1. Показательная функция: y ax , a 0, a 1. 2. Степенная функция: y x , R.

3. Логарифмическая функция: y loga x, a 0, a 1.

4. Тригонометрические функции: y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x.

5. Обратные тригонометрические функции: y arcsin x, y arccos x, y arctg x, y arcctg x.

Определение. Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и построенных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции,

называется элементарной функцией.

Пример неэлементарной функции:
	1, x 0,				x2	1, если x 0,
		0, x 0,
sign x					y	если x 0.
		1, x 0,			x,

y 1	x3		x5	x7	... 1 n	x2n 1	...
						2n 1 ! 2n 1
	3!3		5!5	7!7

3.ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1. Числовая последовательность

		Определение.	Под		числовой	последовательностью
x1, x2 ,..., xn ,... будем понимать функцию
				xn f n , n N.
		Обозначение: xn , xn ,			n N; xn – n-ый член последовательности.
		Определение.	x –	ограниченная,		если M 0,	что n N
			n
	xn	M .	x
	xn	M .
		Определение.		–	возрастающая (неубывающая), если
			n
n N : xn 1 xn , xn 1 xn .					Аналогично	определяется	убывающая

(невозрастающая) последовательность.

Определение. xn – постоянная, если n N : xn const.

Замечание. Рекуррентный способ задания: xn f xn 1 .

3.2. Предел числовой последовательности

Определение. a – предел последовательности, если

0, N : n N xn a lim xn a.

Определение. R дополненное и называется расширен-

ным.

Замечание. Имеется взаимно однозначное соответствие между расширенным R и числовой прямой.

аналогично:

Лемма. У расширенного R a,b R существуют непересекающиеся окрестности.

□ Покажем, что a R и b R 1	, 2 0, что
a 1, a 1	b 2 ,b 2 .
Возьмем 1 2 b a 2, тогда утверждение справедливо.		■

Теорема. xn R, n N имеет один предел.

□Пусть xn R, у которой a b R пределы xn . Выберем 1 0

и2 0 так, чтобы (см. лемму)

a 1, a 1 b 2 ,b 2 .

Тогда lim xn a n1 N, что n n1,n N xn a 1,a 1 ,

lim xn b n2 N, что n n2 , n N xn b 2 ,b 2 .
n
Пусть n0 max n1, n2					, тогда n n0 будем иметь xn a 1, a 1 и
x b	2	,b	2	, т.е.	x a		,a	b	2	,b	2	.
n	2		2		n	1	1		2		2
Противоречие!												■

Определение. yk называется подпоследовательностью xn ,

если k N nk N, что yk xnk .

Лемма. Если lim xn a,	то lim yk a.
n	k
□ Из lim xn a n0: n n0 ,n N выполняется xn a , a , но
n		xn a ,a
тогда для n0 k N, k k0 ,	k N : nk n0	xn a ,a
			k
	lim yk a.			■
	k
3.3. Предельный переход в неравенствах

Теорема. Если lim xn a, lim yn b		и, начиная с некоторого
n	n
номера N, выполняется неравенство xn yn ,			то a b.

□ Допустим, что a b. Из того, что lim xn a

и lim yn

b следует, что

0 N , что при n N

выполнены неравенства

xn a

yn b

т.е.

a xn a

и b yn b .

Возьмем

a b , тогда x

a a

a b

y b b

a b

это

противоречит

условию xn yn , т.е. a b.

■

Теорема. Если lim xn a,

lim yn a и справедливо неравенство

xn zn yn (начиная с некоторого номера), то lim zn a.

□ Возьмем 0, тогда n1 N и n2 N, что n n1:

a xn a

и n n2: a yn a .

Выберем

n0 max n1, n2 ,

тогда

вновь

будем

иметь

n n0:

a xn a и

a yn a , причем xn , yn a , a .

Неравенство xn zn

yn означает, что zn xn , yn при n n0

zn a , a , т.е. lim zn

■

3.4. Предел монотонной ограниченной последовательности

Определение.

xn называется ограниченной сверху (снизу),

если a : n N xn a xn a . Если xn ограничена и

сверху,

снизу, то xn называется ограниченной, т.е.

Теорема. Если lim xn a, то

□ Возьмем, например, 1, тогда n1, что n n1:

xn a

Пусть d max 1,

x1 a

,...,

xn 1 a

, тогда n N:

xn a

■

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27