Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

dx

3a cos2 t sin t;

dy

3a sin2 t cost.

dt

dt

Параметр t будет изменяться от 0 до

2

1

2

2

l

9a2 cos4 t sin 2t 9a2 sin4 t cos 2t dt 3a

cos2 t sin2 t dt

4

0

0

2

sin2 t

2

3a

3a sin t cost dt 3a

;

l 6a.

0

2

0

2

r f .

Воспользуемся

формулами

перехода

от

полярных координат

к декартовым:

x r cos ,

y r sin ,

или x f cos ,

y f sin .

Найдем

dx

cos f sin ,

dy

sin f cos ,

d f

d f

тогда

dx 2

dy 2

f

2

f

2

r 2 r2

d

d

l

r 2 r2 d .

Пример. Найти длину кардиоиды r a 1 cos .

Решение. Изменяя полярный угол от 0

до ,

получим поло-

вину искомой длины. Здесь r asin

d

l

a2 1 cos 2 a2 sin2 d 2a

d 2a cos

2 2cos

0

0

0

2

S S x .

Предположим, что

S x

есть

непрерывная функция от х.

Проведем плоскости

x x0 a; x x1; x x2 ;...x = xn

b.

Эти плоскости разобьют тело

на слои.

Т.о., имеем x i n , тогда

i

i 0

Рис. 10

объем i-го слоя есть

n

Vn S i xi ,

i 1

где xi 1 i xi ; xi

xi xi 1, а объем всего тела Т будет

V limV

b S x dx.

0 n

a

x2

y2

z2

1.

a2

b2

c2

y2

z2

1

x2

;

y2

z2

1;

b

2

c

2

a

2

x

2

x

2

b

1

c

1

a2

a2

с полуосями b b

1

x2

;

c c

1

x2

.

Но площадь такого эллипса

1

a2

1

a2

равна b1c1, поэтому

x

2

S x bc 1

.

2

a

Объем эллипсоида будет равен

a

x

2

3

a

4

V bc

1

dx bc x

x

abc.

2

2

a

a

3a

a

3

2

li xi2 yi2

1

yi

xi .

xi

Применим теорему Лагранжа

yi

f

xi

f

xi 1

f i ,

xi

xi

xi 1

где xi 1

i

xi

yi 1 yi

l 1

f

2

x

и S

i

2

1

f

2

x ,

i

i

i

2

i

i

тогда

n

Si ,

i 1

но, в силу непрерывности f x

и f x , имеем

n

f x

2 x

lim

lim

f x

1 f

0

max x 0

i 1

i

i

i

i

i 1

n

b

1 f

2 x

x 1 f x 2 dx.

lim

2 f

2

f

max xi 0

i

i

i

i 1

a

Пример. Определить площадь поверхности параболоида, образо-

ванного вращением вокруг оси Ох дуги параболы y2 2 px,

x 0, a .

Решение:

2 p

2 p

2x p

2

y

2 px; y

2 x ;

1 y

1

4x

2x .

a

a

a

2x p

2

2x p 3 2

S 2

dx 2

2 px

p

2x p dx 2

p

0

2x

0

3

0

2

p

2a p 3 2 p3 2 .

3