Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

□ Имеем

	b		b				b		b
						dx udv vdu,
	uv dx u v uv					dx udv vdu,
	a		a				a		a
но, согласно формуле Ньютона – Лейбница,
			b
			uv dx uv				ba ,


			a
откуда сразу следует доказательство теоремы.									■
		2
Пример. Найти ln xdx.
		1
Решение:
2				1					2
ln xdx u ln x;			du x		dx x ln x			12	dx 2ln 2 1.
ln xdx u ln x;			du x		dx x ln x			12	dx 2ln 2 1.
1	dv dx;		v x						1

23.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

23.1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах с помощью определенного интеграла

Т.к.	lim	b	f x dx,	то это означает, что, если f x 0	,
Т.к.	0			то это означает, что, если f x 0	,
		a
		a

определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f x , осью Ох и прямыми x=a и x=b, т.е.

S f x dx.

Если f x 0 на a,b , то и S 0, и поэтому, если f x конечное число раз меняет знак на a,b , то площадь под (над) кривой y f x необходимо находить по формуле (рис. 5)

S f x dx.

Рис. 5

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой

y sin x и осью Ох, при 0 x 2 .
Решение. Т.к. sin x 0	при 0 x , и sin x 0				при x 2
(рис. 6), то
	2				2
	S		sin x	dx sin xdx	sin xdx


	0	0

cos x 0 cos x 2 cos cos0

cos 2 cos 1 1 1 1 4.

Рис. 6

23.2. Вычисление площади с помощью определенного интеграла при задании функции в параметрической форме

Пусть y f x задана в параметрической форме:

		x t ,	y t ,
где t ,	a,	b.
	b	x t
	S f x dx		t t dt.
	a	dx	t dt

Пример. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом x a cost, y bsin t.

Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса и удво-

им. Здесь x a, a					t ,0 .
	0				0				cos 2t
S 2 bsin t a sin t dt 2ab sin2tdt 2ab sin2tdt 2ab								1	cos 2t	dt
S 2 bsin t a sin t dt 2ab sin2tdt 2ab sin2tdt 2ab									2	dt
						0	0		2
						0	0
	t		sin 2t
	t		sin 2t
2ab				ab.
2ab				ab.
		2	4	0
				0

23.3.Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах с помощью определенного интеграла

Пусть в полярной системе координат задана кривая r f , где f непрерывная на , (рис. 7).

Выберем

i ii 0n .

Пусть

i 1 i i .

Обозначим через ri радиус-вектор, соответствующий i .

Рис. 7

Площадь кругового сектора

Si 12 ri 2 i .

Составим Риманову сумму

1	n			1	n		i .
			2 i		f 2
		ri				i

2 i 1				2 i 1

В силу непрерывности f

lim		1	r2d .
lim			r2d .
0	2
	2

	83

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемниска-

той

r a cos 2 .

Решение. Радиус-вектор опишет область с площадью, равной

четверти искомой площади (рис. 8), если 0								.
								4
	1				1	4			1		4
	1	S			1	r2d			1	a2	cos 2 d
		S				r2d				a2	cos 2 d
4					2	0		2			0
						0					0
			a2	sin 2			4	a2
							4
												S a2 .
		2				2		4				S a2 .
		2				2	0	4
Рис. 8							0
Рис. 8
23.4. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
					Пусть дана y f x ,								x a,b

(рис. 9).

Выберем

xi ii 0n .

Длину кривой АВ приближенно представим, как

LAB Mi 1M i , i 1

Рис. 9

но Mi 1Mi xi 2 yi 2

В силу непрерывности

1 yi

f x

xi .

		n
lim lim
0	n	i 1
		i 1

1 yixi

xi .

По теореме Лагранжа имеем
	yi		f xi f xi 1	f i ,		где i xi 1, xi ,
	xi		xi xi 1	f i ,		где i xi 1, xi ,
	xi		xi xi 1
причем при xi		0 i x, тогда

			b		dy	2
			LAB		dy
				1		dx.
				1		dx.
			a		dx
			a
Пример. Определить длину окружности x2 y2 r2 .

Решение. Вычислим вначале длину четверти окружности, лежащей в I-м квадранте. Тогда уравнение ее будет

r2 x2 , откуда

r2 x2

rdx

r arcsin

r2 x2

тогда l 2 r.

r 2 ,

23.5. Длина кривой в параметрической форме

Пусть y f x в виде

x t ,

y t ,

t ,

где t , t непрерывные

функции

с непрерывными

производ-

ными, t 0,тогда

Пусть

a ,

и сделаем

подстановку

x t ,

dx t dt, тогда

t dt

или l

dt.

Пример. Вычислить длину астроиды

x a cos3 t,

y asin3 t.

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27