Материал: Динамика материальной точки (90

Задачи 31; 92

Тело массы m брошено вертикально вверх с начальной скоростью vо.

Предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости тела, причем коэффициент пропорциональности равен μ, найти с какой скоростью тело упадет обратно на Землю.

Задачи 33; 93

Точка массы m падает без начальной скорости в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости v. Определить наибольшую скорость точки, если при v=1м/с сила сопротивления равна одной трети силы тяжести. Какова зависимость скорости от времени?

Задачи 34; 94

Лодка массы 60 кг приобретает после толчка скорость vo=0,5 м/с. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости v лодки и выражается формулой R=4v Н, определить, через сколько секунд скорость лодки станет втрое меньше начальной и какой за это время она пройдет путь?

Задачи 35; 95

Точка массы 5 кг движется горизонтально, имея начальную скорость vo=64

м/c. Сила сопротивления, действующая на точку, пропорциональна ее скорости v и

выражается формулой R=10v Н. Определить, через сколько секунд скорость точки уменьшится вдвое и какой за это время она пройдет путь.

Задачи 36; 96

Груз массы m бросают вертикально вверх, сообщая ему такую начальную скорость, при которой он, двигаясь в безвоздушном пространстве, поднялся бы на высоту 10 м. Определить, на какую высоту поднимется груз, если он движется в воздухе, где сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости v точки и выражается формулой R=0,05mv2 Н.

16

Задачи 37; 97

Груз массы m начинает падать в воздухе вертикально вниз без начальной скорости. Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости v груза и определяется формулой R=0,05mv2. Определить, пройдя какой путь, груз приобретает скорость, равную половине предельной.

Задачи 38; 98

Тело массы m начинает падать без начальной скорости в среде, сопротивление которой определяется формулой R=0,1mv. Через сколько секунд скорость v тела достигнет половины предельной?

Задачи 39; 99

Груз массы m бросили вертикально вверх в среде, сопротивление которой определяется формулой R=0,05mv. Определить, через сколько секунд груз достигнет наивысшей точки, если начальная скорость его такова, что, двигаясь без сопротивления, он достиг бы наивысшей точки через две секунды после начала движения.

Задачи 40; 100

Лодка замедляет свое движение, преодолевая сопротивление воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 2 м/с. Через четыре секунды ее скорость равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки уменьшится до 0,5 м/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

Задача 41

Материальная точка массы 2 кг отталкивается от неподвижного центра О силой, величина которой пропорциональна расстоянию х от цента О и на расстоянии

0,1 м от него равна 1,8 Н. Найти закон движения точки, если в начальный момент точка находилась в центре О и имела начальную скорость vo=0,6 м/с.

17

Задача 42

Материальная точка массы m отталкивается от неподвижного центра О силой,

величина которой равна μ2mх; х – расстояние точки до центра О, а μ − постоянный коэффициент. Найти закон движения точки, если в начальный момент времени хо=b; vo=0.

Задача 43

Материальная точка массы m притягивается к неподвижному центру силой,

обратно пропорциональной кубу расстояния между ними, коэффициент пропорциональности равен К. Через сколько времени точка попадет в центр притяжения, если начальное расстояние до центра равно хо, а начальная скорость равна нулю.

Задача 44

Материальная точка массы m движется под действием силы притяжения к центру О. Величина силы равна mπ2x, где х – расстояние точки до центра притяжения. Определить, какой путь пройдет точка за первую секунду движения,

если при t=0; xо=100 м; vо=0.

Задача 45

Материальная точка М притягивается к центру О силой F = 3k 2 m , где х=ОМ; 14x 4

m – масса точки; k =const. В начальный момент времени расстояние ОМо=хо и vo=0.

Определить скорость точки, когда ОМ= хо . 2

Задача 46

Точка массы 1,5 кг движется по горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения f=0,1 под действием силы F=4,5+3x H. Найти закон

движения точки,если в начальный момент времени хо=1м и vo= 22 м/с. Принять g=10 м/с2.

18

Задача 47

Точка массы m, имеющая нулевую начальную скорость притягивается к неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию точки до этого центра. Определить скорость точки, когда она приблизится к центру на половину первоначального расстояния L, если известно, что на расстоянии от центра О равным L 4 , скорость точки равна 15 .

Задача 48

Материальная точка массы m движется под действием силы притяжения к неподвижному центру О; сила обратно пропорциональна кубу расстояния движущейся точки до центра О и пропорциональна массе точки. Определить закон движения точки, если при t=0, xо=2м, vо=0,5 м/с.

Задача 49

Материальная точка массы m движется без начальной скорости прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, пропорциональной расстоянию от точки до этого центра. В начальный момент времени сила равна Q, а

расстояние точки до центра О равно b. Найти скорость точки, когда она пройдет путь, равный b.

Задача 50

Точка массы 2 кг движется горизонтально под действием силы Fx=2(х+1) Н.

Найти закон движения точки, если при t=0;vо=2 м/с, а хо=1 м. Какой путь пройдет точка, прежде чем ее скорость станет равной 20 м/с?

Задача 51

Точка массы 2 кг движется горизонтально под действием силы Fx=2(x+1) H.

Какова скорость точки, когда она пройдет путь, равный 50 метрам, если при t=0, vo=2 м/с, а хо=1 м. Сколько времени потратит точка на этот путь?

19

Задача 52

Точка массы 2 кг движется вдоль горизонтальной оси ОХ под действием силы

Fx=100x Н. Определить, какой путь пройдет точка, когда ее начальная скорость vо

утроится, если при t=0; vо=10 м/с, а хо=0.

Задача 53

Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с минимальной начальной скоростью, достаточной для удаления тела в бесконечность. Определить скорость тела при удалении его от поверхности Земли на расстояние земного радиуса. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 54

Точка массы m находится на прямой, проходящей через два центра А и В,

расстояние между которыми АВ=2l. Каждый центр притягивает точку силой,

пропорциональной расстоянию точки до него; коэффициент пропорциональности у обеих сил одинаков и равен mk2. В начальный момент точка находится на расстоянии хо от середины О отрезка АВ, не имея начальной скорости. Найти закон движения точки.

Задача 55

На материальную точку массы 1 кг движущуюся вдоль горизонтальной оси ОХ, действует сила, проекция которой на ось ОХ Fx=-4x H. Найти закон движения точки, если в начальный момент хо=0, vo= 2м/с.

Задача 56

Точка массы 2 кг движется горизонтально под действием силы Fx=2(x+1) H.

Какой путь пройдет точка, когда ее скорость станет равной 10 м/с, если при t=0; vо=2 м/с, а хо=1 м?

20