§ 17] ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТЕЙ 77
В результате после подстановки (4.27) в (4.26), дифференци рования и сокращений получим:
О.356аоР°’М8 — 0,1578p°’81R — 0,1262 (1 |
+ )*a |
0’482 aop-0,184, ( |
||
a0 = О.О2693Р-1'03'2 (1 |
4- a2)0,402, |
' j |
||
откуда следует |
|
|
|
(4.28) |
|
|
|
|
|
a0 = 0,4565(1 +a2)-°’08, |
] |
|
(4-29) |
|
0 445 |
|
} |
|
|
0,0643 (1 +a2)0,4, |
, |
j |
|
|
Таким образом, получаем: |
|
|
|
|
a = 0,4565(-^-)_n’°lfi(l +a2)“°'°ie. |
(4.30) |
|||
Так как множитель (1 + a2)-n’oie пренебрежимо мало отли чается от 1, то в формулах (4.29) можно полагать
С помощью полученных величин определяем момент сопро тивления двух сторон диска радиуса /?:
- 8
2А4 = 4тс/?2р *J vrv4 dz
- о
Для коэффициента момента см получим формулу |
|
|
сп = 0,1136R-0’181 (1 + 0,21 R-0’232)0'318. |
(4.31) |
|
Толщина пограничного слоя определится выражением |
||
0,0643R‘°’01G(l +0,21 R-0’032)0’483. |
(4.32) |
|
Из этой формулы следует, что интервал In |
— 8,5 -ч- 13 |
|
соответствует интервалу значений R^9- 104-:-9- 10е. Аналогичные выражения для других двух интервалов дают
следующие формулы:
78 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ |
ВОКРУГ ДИСКА |
[гл. IV |
в |
интервале значений |
R от 104 |
до 9- 104 |
|
см = 0,0229R-O’239(l 4-0,395R-o’o8)0’24,s
= O,O853R~°'043 (1 + 0,395 R-0,08)0’46, |
(4.33) |
|
а= 0,629R~°’°43(l + 0,395R“°’O8)“<)'013;
винтервале значений R от 6,4- 107 до 3,3- 109
cjV = 0,042R~°’122,
=0,0515, |
(4.34) |
а = 0,342. |
|
На рис. 22 нанесены значения |
см для рассматриваемых |
чисел Рейнольдса r’m/v.
трех интервалов. Все эти значения объединяются общей фор мулой
\/ см = 0,982 (lg R)~2'58. |
(4.35) |
Эта зависимость изображена кривой IV, являющейся огибаю щей кривых /, //, III.
§ 18] |
СРАВНЕНИЕ |
С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ данными |
79 |
Интересно то |
обстоятельство, что показатель |
степени |
|
в этой формуле равен соответствующему показателю в фор муле сопротивления гладкой плоской пластинки1). Кривая, соответствующая формуле (4.35), хорошо согласуется с имеющимися опытными данными (рис. 3).
Нетрудно убедиться, что для толщины пограничного слоя общую формулу можно представить в виде
у = 0,05+ 5 (lg R)-2’7, |
(4.36) |
|
а для коэффициента а получится |
|
|
а |
0,33+3 (lg R)~2’*5. |
(4.37) |
Уменьшение величины а с увеличением числа R подтверж |
||
дается опытами по |
определению формы линий тока |
относи |
тельного движения жидкости в пограничном слое вращаю щегося диска2).
§ 18. Сравнение с экспериментальными данными
Сравнение теоретических значений коэффициента момента сопротивления с опытными приводилось выше; оно изобра жено на рис. 3.
Сопоставим теперь профили скоростей для турбулентного режима, полученные замером, с теоретическими. Характерные результаты замеров изображены на рис. 18.
Вычислим вначале характерные толщины *о и **о для окружной составляющей скорости. В случае степенного про
филя Кармана, |
согласно (4.3) и (4.8): |
|
|
||
G = |
v,„ |
4- |
/ v хТ |
/ |
г \ |
—=1—£7, |
S = 0,525г (-з- ) |
•(?=_), |
|||
|
Г» |
|
\ Г2ш / |
\ |
6 ) |
поэтому |
|
|
|
— |
|
« |
|
1 |
|
|
1 |
V = J -^dz = Zj G(^)rf?=g S = 0,0656r^) |
.(4.38) |
||||
оо
J)См., например, формулу (100) на стр. 664 книги Л. Г. Лойцянского «Механика жидкости и газа», Гостехиздат, 1957.
2) Buss man F., Die Orenzschichtbewegung auf rotierender Scheiben, Forschung auf d. Oebiete d. Ing. Wes., t. 21, № 9, 1931.
80 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[гл. IV |
||
Аналогично вычисляется |
®:*о |
|
||
|
« |
|
|
- |
=/**8 |
0(1 — O)dz = -^ 3 = 0,051r (tv)5 ■ <4-39) |
|||
|
о |
|
|
|
Для величины |
— |
получаем: |
|
|
|
|
Н* |
о |
|
|
|
= у= 1,285, |
|
|
в то время |
как |
замеренное1) значение № при |
R = -г~ = |
|
= 323 000 оказалось равным 1,4. |
|
|||
Для логарифмического профиля скоростей, согласно (4.17):
G =-----In $,
поэтому будем иметь:
о =у, о =_^1-т}, |
1—^1—yJ, (4,40) |
|||||
Согласно формуле Гольдштейна (4.25) для того же числа |
||||||
R = 323 000 |
будем |
иметь |
Н* =1,24. В то же время |
расчет |
||
по формулам |
§ |
17 |
для |
уточненного |
решения дает |
более |
близкое к опытному значение числа ,*/7 |
Н = 1,295. |
|
||||
Вычислим теперь для того же числа Рейнольдса R = 323 000 |
||||||
соответствующие |
профили скоростей |
и нанесем на |
график |
|||
(рис. 23), беря в качестве безразмерного расстояния от диска величину $ = .г**/8 Как видно, окружная составляющая, опре деляемая степенным и логарифмическими профилями, близка к экспериментальным значениям!). Для радиальной соста вляющей при степенном профиле скоростей получается боль шое отличие от замеренного распределения радиальных ско ростей. Наилучшее согласование получается для случая уточ ненного решения с логарифмическим профилем, за исключе нием области, непосредственно примыкающей к стенке до максимума F.
Логарифмический профиль дает также хорошее согласова ть
ние с опытными данными по углу Ф8 = arctg = , составляемому г > S °
1) См. сноску на стр. 19.
§ 18] |
Сравнение с экспериментальными данными |
81 |
Рис. 23. Распределение радиальных и окружных составляющих скорости вблизи вращающегося диска при турбулентном режиме; дг=2100 об/мин,
/• = 146 мм (R—323 000.)
6 Зак. 944. Л. А. Дорфман
82 |
|
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ |
ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. IV |
|
вектором |
касательной |
скорости на внешней границе погра |
|||
ничного |
слоя с окружным направлением. |
|
|||
|
Для степенного профиля Кармана |
|
|||
|
|
|
у |
|
|
|
Ф8 = arctg~ — arctgа —= arctg 7а — 48°36/, |
||||
|
|
z->8 и |
А |
|
|
для |
|
|
1-67 |
|
|
решения Гольдштейна |
|
|
|||
|
|
Ф8 = arctg |
= arctg а = arctg 4г = 18°22', |
|
|
|
|
z->& |
и |
6 |
|
в то время как опытные значения Ф8 изменяются в пределах от 18 до 23°. Уточненное решение для логарифмического профиля скоростей дает такие же значения Ф8. Например, при R = 323 000 получаем а = 0,373, т. е. Ф6 = 20°25', что удовлетворительно согласуется с замерами (см. рис. 18).
Опыты Коба и Саундерса1) также показали (см. рис. 35 на стр. 117), что имеется согласование теоретических данных по Карману с замерами полной касательной скорости при турбулентном режиме.
§ 19. Влияние шероховатости поверхности диска
Шероховатость поверхности вращающегося диска проя вляется в заметном увеличении трения. Однако, как и в слу чае течения в трубках и вдоль плоской стенки, если высота бугорка шероховатости значительно меньше толщины лами нарного подслоя /г<^ол, то трение не увеличивается, так как бугорки обтекаются в этом случае без отрывов и вихреобразований. Это режим без проявления шероховатости.
Если же высота бугорков k имеет тот же порядок вели чины, что и 8Л, то начинает проявляться влияние шерохова
тости— переходный или промежуточный режим-
Наконец, существенно проявляется шероховатость в слу чае, когда бугорки шероховатости выходят заметно за пре делы ламинарного подслоя, &^>олОтрывное обтекание бугорков приводит к тому, что структура потока и трение становятся независимыми от числа Рейнольдса и зависят лишь от относительной шероховатости k/R. Это режим развитой
шероховатости.
*) Cobb Е. С. and Saunders О. A., Heat transfer from a rotating disk, Proc. Roy. Soc, ser. A, t. 236, № 1206, 1956.