§ 14] |
приложение К СЛУЧАЮ вращающегося диска |
65 |
Таким |
образом, 5 = ^: 1,271. Вблизи С = 0, согласно |
та |
блице 1 для значений F и О, функция K(i) при е=13° 18' имеет вид:
Если обозначить
т; = 1 — e_s
то можно аппроксимировать К следующей функцией:
К01) = ^-(1—7]) (1 + 0,3627]). |
(3.17) |
Представим теперь искомую функцию о в таком виде, чтобы она удовлетворяла граничным условиям
<р = vj (1 — vj) (1-|-(3.18)
где В — неизвестная постоянная. Подставив (3.17) и (3.18)
в(3.12), получим:
„0,16533 + 0,17400В ф- 0,03665В'- =-----------!-------------- '--------------
++++= |
■ |
Максимум этой величины достигается при |
В — — 0,540, |
что дает |
|
а — 1,45. |
|
Второе значение В, дающее экстремум функции а2 (минимум), непригодно, так как соответствует мнимому значению а.
Таким образом, безразмерная длина волны будет равна
X |
__ |
2л |
|
6* |
~~ |
1,45 ’ |
|
а расстояние между соседними волнами в |
окружном напра |
||
влении равно |
2т. 5- |
|
|
|
|
||
1,45 sin е |
|
||
Поэтому число волн вихрей равно |
|
||
А' = 2~г :-— = 0,262 1/ —. |
|||
1,45 |
sin е |
Г |
ч |
Опыты Грегори, Стюарта и Волкера (см. § 11 настоящей
главы) показали, |
что критическое число Рейнольдса |
5 Зак. 944, Л. А. |
Дорфман |
66 ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ [гл. tit
равно 182 000, следовательно, N = 112 вместо 30, которое наблюдалось. Такое расхождение связано с влиянием отбро шенных вязких членов уравнения (3.8).
Стюарт1) построил пример, когда можно вычислить форму вихрей при потере устойчивости. Для этого он
Рис. 20. Завихрения в зоне потери устойчивости ламинарного течения при вращении диска с равномерным отсосом (по Стюарту).
рассматривал решение для потока вблизи диска при большом отсосе по диску. В этом случае (§ 8)
G — e~^,
и профиль скоростей U примет вид:
U = — tgе(Д + tgs) — Ае~К, A = ±-k~2.
Направление е, определяемое совмещением корней U и U", дает
!) См. сноску на стр. 19.
§ |
14] |
приложение к |
случаю |
|
вращающегося диска |
67 |
|||||||
Тогда |
нетрудно найти, |
что |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<(5)=-^. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
|
||
и |
дифференциальное уравнение (3.11) |
принимает вид: |
|
||||||||||
|
|
|
|
<р"-“2'р+-Л-=:=0- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е' — 1 |
|
|
||
Это уравнение |
имеет точное |
решение |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
<р = е |
-4е |
— |
е |
-4е |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
||||
с |
, |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
собственным |
значением а = -^-. |
|
|
|
|
||||||||
|
Заметим, |
что если |
решать |
вариационную задачу, |
задав <s |
||||||||
в |
виде (3.18), |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
которое |
||
то получим значение а = ]/5^ 1,495, |
|||||||||||||
отличается |
от |
точного на |
о |
|
|
|
Замечательно также, что |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
это значение близко к тому, которое получено в случае отсутствия отсоса, т. е. отсос не оказывает влияния на соб ственное значение а.
Пользуясь явными выражениями для скоростей, Стюарту удалось решить уравнения для невязких трехмерных возму щений и найти форму линий тока, которые указывают на существование двух видов вихревых волн вблизи вращающе гося диска (рис. 20).
ГЛАВА IV
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
ВСВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКА
§15. Интегральные соотношения пограничного слоя
на вращающемся диске
Для расчета турбулентного пограничного слоя на вра щающемся диске применим интегральные методы и полу-
эмпирические |
зависимости, полученные при изучении течений |
в трубах и на пластинке. |
|
Рассмотрим кольцевой элемент пограничного слоя тол |
|
щины 8 па |
вращающемся диске, расположенный между |
радиусами г |
и r-\-dr. Приращение количества движения |
в радиальном направлении для рассматриваемого элемента равно
(8 |
1 |
r*2 ?*dzfv |
Ьг. |
О'
Центробежная сила, действующая на рассматриваемый эле мент, будет выражаться величиной
8 |
0 |
|
\ |
(о |
|
, |
/ |
Г vl |
I . |
||
р / |
—- dz I dr. |
||
Результирующая двух рассмотренных выше сил уравнове шивается силой трения 2rcrcrdr, где — радиальная компо нента напряжения. Поэтому будем иметь:
/5 \ 5
h"dz]~ i vidz^~ry' <4J)
оо
§ |
16] |
|
|
РЕШЕНИЕ |
КАРМАНА |
69 |
||
|
Второе уравнение получим, если вычислим приращение |
|||||||
момента |
количества |
движения |
|
относительно оси вращения |
||||
в |
окружном направлении: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
О |
о |
' |
\ |
|
|
|
|
|
( |
dr, |
|
||
|
|
|
|
2к/-2р f Vrvv dz |
|
|||
которое |
должно |
уравновешиваться |
моментом |
сил трения |
||||
в |
окружном направлении — 2-гг2т? dr, |
так что |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|
|
|
\ |
о |
|
' |
|
|
|
Заметим, что |
полученные |
|
интегральные |
соотношения |
|||
можно было вывести непосредственно из уравнений движения
в |
пограничном слое вращающегося диска 1)*3. |
|
||||||
|
|
§ 16. |
Решение Кармана для степенного профиля |
|||||
|
|
|
|
|
скоростей |
|
|
|
|
Для |
определения |
сопротивления |
вращающегося |
диска |
|||
в |
турбулентном потоке Карман2) использовал интегральные |
|||||||
соотношения (4.1), (4.2), |
приняв степенной закон для рас |
|||||||
пределения |
скоростей |
в |
пограничном слое со степенью 1/7, |
|||||
который |
наблюдался при |
течении в трубах в определенной |
||||||
зоне |
чисел |
Рейнольдса. Он полагает: |
|
|
||||
|
|
|
|
vr — агш |
|
|
(4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v^ = ru> |
|
|
|
|
где |
а и |
о — неизвестные |
величины. Прорпли радиальных и |
|||||
окружных |
скоростей |
удовлетворяют |
граничным условиям |
|||||
на |
стенке |
|
z = Q: |
|
vr = 0, |
= го> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1)Лойцянский Л. Г., Аэродинамика пограничного |
слоя, |
||||||
1'остехиздат, |
1941. |
15, |
|
|
|
|||
|
3) См. |
сноску на стр. |
|
|
|
|||
70 |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. IV |
и на внешней границе пограничного слоя
z = 8: vr — — 0.
Заметим, что вблизи диска (z —> 0)
vr |
— Га |
|
Га |
т. е. а представляет собой |
отношение между радиальной и |
окружной составляющими относительной скорости в погра ничном слое и, стало быть, отношение между соответствую щими составляющими напряжения трения
тг = —атг |
|
|
(4.4) |
Результирующая относительная скорость и среды вблизи |
|||
поверхности диска получится равной |
|
|
|
_________________ |
1 |
1 |
|
/•и)2—(1+а2)а |
гш‘ |
<4-5) |
|
Используя эмпирический закон /«* 7» для трубы
и
v*
где т^ — У^/р, получим из пего, подставляя u — U при z — Ъ, соотношение
1 |
|
то = О,О225р(/г(-^-)4. |
(4.6) |
Используя соотношения (4.4)—(4.6), получим для соста вляющих напряжения трения:
1 - / \- г 1 г
тг=0,0225ра4 (го)4 (jf [1 +~^-]8 >
0.6')
= ^0,0225р (гш)4 U-V [1 Н-а2]8.
§ 16] |
РЕШЕНИЕ КАРМАНА |
71 |
Вычислим затем интегралы, стоящие в уравнениях (4.1) и (4.2) с учетом (4.3):
f -и2 rf2 = 0,207a2(ru>)28,
О
|
J* |
vrv,f dz = 0,0681 (rw)2a8, |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
*J v*dz |
= 0,0278 (ru>)2 8. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Подставляя эти значения в уравнения (4.1) и (4.2), а |
также |
|||||
используя |
(4.6'). |
получим |
уравнения для определения |
вели |
||
чин а и о: |
|
|
|
|
|
|
(0,207r2u?a28) — 0,0278г2«>28 = |
|
|
|
|||
|
|
= — 0,0225aW (—(1 + |
* • |
|||
|
|
|
\ arooO / |
\ |
а-/ |
|
|
|
|
2. |
|
з |
|
|
(0,068 IrWao) = 0,0225rW (r=)4 (1 + a2)?. |
|
||||
Положив, |
далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
получим |
систему |
алгебраических уравнений |
относительно a |
|||
и 8: |
|
|
1 |
|
|
з |
|
|
|
|
|
||
О,745ба20 — 0,02780 = — 0,0225а2 |
(1 |
+ |
> |
|||
|
|
|
± |
2. |
|
|
О,3133а0 = 0,0225(-^У (1 4~а2)8 .
Разделив первое уравнение на второе, получим:
1,0859a2 —0,0278 = 0,
откуда
a = 0,162.