96 |
ТЕПЛООТДАЧА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА |
(гл. :V |
При квадратичном распределении (5.8) температурных на поров по радиусу диска будем иметь:
С — тю>
ю “Г J |
|
|
|
|
о |
\о |
о |
\о |
/ |
|
С |
|
с |
\ 1 |
|
|
|
||
|
|
|
— |
dZ=O, |
LO
о |
/ |
J |
ИЛИ
D^3,83t204- 1,218 — 0,399т10.
В этом случае функция Tt(C) примет вид:
Ъ (С) - т10а (С) + (С) + т2о1 (Q. |
(5.10) |
Значения функций -гДС), т2(С) для теплоизолированного диска,
а также т*(С), |
а(С), р (С), |
у (С) приведены в таблице 8. |
|
|||
|
Для вычисления коэффициента теплоотдачи находим зна |
|||||
чения производных: |
|
|
|
|
||
|
т' (0) = D = 3,83т20+ 1,218 — 0,399т10, |
(5.И) |
||||
|
т'(0) = —0,616т20 + 0,308. |
|||||
|
|
|||||
|
Отсюда для числа |
гТ' (О, |
г) |
|
||
|
|
|
N |
|
||
|
|
|
Г (0, |
г) |
|
|
|
|
|
|
|
||
при |
Р = 1 получаем |
следующую формулу J): |
|
|||
-^ = 0,616 — 0,217 |
Т (0, |
— |
|
|
||
/R |
|
|
г) |
|
|
|
|
— 3,83 FT1 (1 |
— /(Го1Ог)-) —1,218 | —0,3089, (5.12) |
||||
где |
через 9 |
обозначен температурный критерий |
|
|||
|
|
|
а __ |
|
(5.13) |
|
|
|
|
|
gcpT(0, г) |
||
|
|
|
|
|
||
(g— ускорение силы тяжести).
i) Дорфман Л. А., Влияние радиального градиента темпе ратур на теплоотдачу вращающегося диска. Изв. АН СССР, ОТН, № 12, 1957.
§ 21] НАГРЕВАНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВРАЩАЮЩИМСЯ ДИСКОМ §7
Таблица 8
Значения функций, определяющих распределение температуры вблизи диска, вращающегося
в неподвижной жидкости
С а
0 |
1 |
0 |
0,1 |
0,960 |
0,122 |
0,2 |
0,920 |
0,241 |
0,3 |
0,880 |
0,358 |
0,4 |
0,841 |
0,470 |
0,5 |
0,801 |
0,576 |
0,6 |
0,762 |
0,675 |
0,7 |
0,724 |
0,765 |
0,8 |
0,686 |
0,846 |
0,9 |
0,649 |
0,918 |
1,0 |
0,612 |
0,980 |
1,1 |
0,577 |
1,032 |
1,2 |
0,543 |
1,074 |
1,3 |
0,510 |
1,108 |
1,4 |
0,478 |
1,132 |
1,5 |
0,447 |
1,148 |
1,6 |
0,418 |
1,157 |
1,7 |
0,389 |
1,160 |
1,8 |
0,363 |
1,156 |
1,9 |
0,337 |
1,147 |
2,0 |
0,313 |
1,138 |
2,1 |
и,2У1 |
1,117 |
2,2 |
0,269 |
1,096 |
2,3 |
0,242 |
1,074 |
2,4 |
0,230 |
1,048 |
2,5 |
0,212 |
1,022 |
2,6 |
0,196 |
0,994 |
2,8 |
0,166 , |
0,935 |
3,0 |
0,141 |
0,879 |
3,2 |
0,120 |
0,826 |
3,4 |
0,102 |
0,770 |
3,6 |
0,086 |
0,720 |
3,8 |
0,073 |
0,673 |
4,0 |
0,062 |
0,629 |
4,2 |
0,052 |
0,590 |
4,4 |
0,044 |
0,554 |
со |
0 |
0 |
т |
Т1 |
т2 |
■'г |
0 |
7,600 |
0,500 |
0 |
0,364 |
7,590 |
0,497 |
0,027 |
0,689 |
7,558 |
0,489 |
0,050 |
0,979 |
7,505 |
0,477 |
0,068 |
1,236 |
7,432 |
0,462 |
0,081 |
1,459 |
7,338 |
0,446 |
0,092 |
1,653 |
7,223 |
0,427 |
0,099 |
1,819 |
7,089 |
0,408 |
0,104 |
1,957 |
6,937 |
0,388 |
0,107 |
2,071 |
6,768 |
0,367 |
0,108 |
2,162 |
6,584 |
0,342 |
0,108 |
2,232 |
.6,386 |
0,327 |
0,107 |
2,280 |
6,177 |
0,307 |
0,105 |
2,315 |
5,959 |
0,288 |
0,103 |
2,332 |
5,736 |
0,270 |
0,099 |
2,335 |
5,506 |
0,252 |
0,095 |
2,325 |
5,272 |
0,236 |
0,092 |
2,305 |
5,036 |
0,219 |
0,087 |
2,276 |
4,797 |
0,204 |
0,083 |
2,238 |
4,562 |
0,189 |
0,078 |
2,194 |
4,332 |
0,175 |
0,074 |
2,145 |
4,105 |
0,163 |
0'070 |
2,090 |
3,879 |
0,151 |
0,065 |
2,033 |
3,664 |
0,139 |
0,061 |
1,974 |
3,455 |
0,129 |
0,057 |
1,912 |
3,253 |
0,119 |
0,053 |
1,849 |
3,058 |
0,110 |
0,050 |
1,724 |
2,694 |
0,094 |
0,043 |
1,598 |
2,362 |
0,078 |
0,036 |
1,484 |
2,062 |
0,067 |
0,032 |
1,375 |
1,793 |
0,056 |
0,027 |
1,274 |
1,554 |
0,048 |
0,023 |
1,175 |
1,343 |
0,041 ' |
0,020 |
1,080 |
1,157 |
0,034 |
0,017 . |
1,002 |
0,993 |
0,028 |
0,014 |
0,935 |
0,850 |
0,024 |
0,012 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 Зак. 944. Л. А. Дорфман
98 ТЕПЛООТДАЧА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА [гл. V
Температурный критерий в для сжимаемого газа можно выразить через число М для вращающегося диска:
|
М = ~ |
(5.14) |
|
сзв |
|
где сзв — скорость звука |
для параметров среды на |
поверх |
ности диска: |
£ |
|
|
(5.15) |
|
^ = gcp(k-l)T, k = -^. |
||
Действительно, после использования выражений (5.14) и |
||
(5.15) получим: |
|
|
0 = (/г—-1)Ма- |
(5.16) |
|
Члены, содержащие |
6, учитывают диссипацию |
энергии |
в пограничном слое. При малых скоростях вращения диска ими можно пренебречь. В условиях вращения дисков турбома шин числа R настолько большие, что можно также прене бречь членами, содержащими R-1.
Формула (5.12) указывает на существенное влияние
радиального градиента температур на теплоотдачу враща ющегося диска. Например, при отсутствии радиального гра диента температур без учета диссипации формула (5.12) при
нимает вид: |
N = 0,399 ]/R. |
(5.17) |
|
||
В то же время при чисто квадратичном градиенте темпе |
||
ратур, т. е. при |
7\о=О, получаем: |
|
|
N = 0,616/R, |
(5.18) |
т. е. теплоотдача |
возрастает более чем в полтора |
раза. За |
метим, что в действительных условиях работы дисков турбо
машин |
имеется |
радиальный |
градиент |
температур, близкий |
к квадратичному. |
|
|
|
|
Приведенные выше расчеты показывают, что необходимо |
||||
учитывать влияние этого градиента на |
коэффициент тепло |
|||
отдачи. |
|
|
|
|
В работе Кибеля намечен также путь решения задачи для |
||||
чисел |
Прандтля, |
отличных |
от единицы. При вращении теп |
|
лоизолированного диска функция т2 для малых С разыскива ется в виде степенного ряда
= + + .... (5.19)
§ 21] |
НАГРЕВАНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВРАЩАЮЩИМСЯ диском |
99 |
||||||
в котором t2, t2 и т. д. |
все легко определяются через t0 |
|||||||
после подстановки ряда в первое уравнение (5.2). С другой |
||||||||
стороны, для больших С |
асимптотическое представление т2 |
|||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
т2 = е~рл (Мо + |
Ч- М2е~2сС + . ..) + |
|
|
|||||
|
|
|
|
+дг2е-^+.._, |
(5.20) |
|||
причем все коэффициенты Мк, М2......... Nlt N2.. . определя |
||||||||
ются |
через Л40. Сравнив по |
примеру Кокрэна оба представ |
||||||
ления |
и |
их |
производные |
в |
какой-либо точке, получим два |
|||
уравнения |
для определения |
t0 и /Ио. Вычислив т2, можем Tj |
||||||
найти |
путем |
квадратур в |
|
соответствии со вторым |
уравне |
|||
нием |
(5.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
/ |
с |
\ |
с |
|
|
t1 = C+JexplP fHd^. |
|
О — 2р2т2 + 2^ + |
|
|
||||
|
о |
|
\ |
О |
/ |
о |
\ ) |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
— р У НАГ, Lr, |
||
|
|
|
|
|
|
(о |
/ |
J |
где постоянные С и D находятся из граничных условий.
В случае теплоотдающего диска степенный ряд для т*
берется |
в виде |
|
|
|
|
^2о + ^+^2+ •••. |
(5.21) |
где |
неизвестно, а все остальные коэффициенты |
определя |
|
ются через |
tv Для больших значений Г, асимптотическое раз |
||
ложение т* |
имеет также вид (5.20). |
|
|
Непосредственным численным интегрированием уравнений (5.2) Мильсепс и Польгаузен1) определили значения функ
ций |
а, р |
и т* для различных |
чисел Прандтля. Их резуль |
|||||||
таты |
|
представлены |
на |
рис. |
27—30. Заметим, что значе |
|||||
ния |
а |
и |
т* |
для |
Р = 1 |
хорошо согласуются с данными |
таб |
|||
лицы |
8, |
в |
то |
время |
как значения р на графике (рис. |
29) |
||||
заметно меньше соответствующих значений из таблицы. |
|
|||||||||
1) |
М i 11 s а р s |
К. |
and |
Р о h 1 |
h a u s е п К., Heat transfer by la |
|||||
minar |
flow |
from |
a rotating plate, J. of the Aeron. Sc., t. 19, |
№ 2, |
||||||
1952. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|