§ 24] влияние числа Р 107
§ 24. Влияние числа Р при квадратичном распределении температурных напоров )*
а) Ламинарный режим. Поскольку для ламинарного режима профили безразмерных скоростей в пограничном слое не зависят от радиуса (§ 4):
v® vr '---
где
C = z 1/ — , r V
то и для температур решение ищем в виде
(5.47)
7 СТ
Тогда уравнение энергии (5.33) при Тот — сог*2 превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции 0(C):
= №'+2Fb. |
(5.48) |
Это уравнение решаем путем последовательных приближений с удовлетворением граничным условиям
0(0)= 1, 0(оо) = 0. |
(5.49) |
Результаты вычислений коэффициентов теплоотдачи можно. представить в виде формулы
N = (N)p=1 ? (Р) = 0,616 R°>5<p (Р), |
(5.50) |
где значения ср (Р) изображены на рис. 31. Из рассмотрения этих значений ср (Р) видно, что влияние числа Р на тепло отдачу вращающегося диска более заметно, чем в случае течения около плоской пластинки (для которой это влияние определяется множителем Р‘/»)_
б) Турбулентный режим. В случае турбулентного режима для учета влияния числа Р при Тст = сог2 можем воспользоваться методом Кармана 2).
i) Дорфман Л. А., Теплоотдача вращающегося диска, Инже нерно-физический журнал, т. 1, № 6, 1958.
2) См. сноску !) на стр. 104,
108 ТЕПЛООТДАЧА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА [ГЛ. V
Вводим обозначения
Г0> — Vv |
|
Т —Т |
|
|
/(£) |
|
ст |
J |
(5.51) |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
т* |
q |
$ |
ZV,. |
(5.52) |
pc^v,. ’ |
Ч |
|||
Выражения (5.38) и (5.39) для напряжения трения и потока тепла с использованием понятия коэффициентов турбулентной
Рис. 31. Коэффициент влияния числа Прандтля на теплоотдачу вращающегося диска при ламинарном режиме: У —расчет по уравнению (5.48) для 7'OT=f0r2; 2— резуль
таты |
Мильсепса |
и Польгаузена (см. рис. |
30) при Гст=г const; 5 —расчет по фор |
муле |
(5.28) при |
rCT=const; 4 — расчет по |
формуле <р(Р) —для обтекаемой |
|
|
пластинки. |
|
диффузии (г) и турбулентной |
проводимости (ет) можно за |
||||||
писать |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
dz |
) |
|
|
р |
* |
v 1 |
7 |
I |
(5.53) |
|
|
q |
т |
t |
|
ч дт |
|
|
|
|
||||||
|
pep |
= 'П1!Л |
= (й-к-гт)-г-. |
I |
|
||
|
* * |
4 |
1 |
17 dz |
) |
|
|
Тогда, подставив (5.51) и (5.52) в эти уравнения и поло |
|||||||
жив, исходя из подобия механизма переноса тепла и |
коли |
||||||
чества |
движения, |
е = гт, |
получим |
уравнение связи |
между |
||
$ 24] ЬЛиЙНИЕ ЧИСЛА Р io§
распределениями осредненных температур и скоростей в по граничном слое в виде
= |
<5-54) |
где штрихи обозначают дифференцирование по £. Исходя, далее, из обычной трехслойной схемы турбулентного погра ничного слоя:
/(£) = $, |
0 |
<£ |
<5 |
(ламинарный подслой), |
/(£) =— 3,05—5 1пЁ, |
5 |
< $ |
< 30 |
(переходный слой), |
и учитывая, что при £>30 можно пренебречь молекуляр
ными слагаемыми в уравнениях (5.53),
^(5) = /(5)Ч- С.
После интегрирования (5.54) получим для профиля температур:
^(?)=ре,
£,($) = 51п(-^+1-р) + 5Р,
=/(£)+2 (Р).
где
будем иметь:
следующие выражения
о < В < 5,
0<£ < 30, (5.55)
£>30,
^(Р)-5(Р —1) + 51п-^±1. |
(5.56) |
На внешней границе пограничного слоя ^ = 0, |
Т — Т^, |
так что из последнего уравнения (5.55) будем иметь:
откуда для
находим следующее выражение: |
|
||
|
Ч> |
ро |
|
N ■—(N)p = 1 <р (Р) = - |
> ‘г |
(г^ р _____ |
|
5Р-4-1П ’ |
|||
1 |
|||
|
|
||
|
|
(5.58) |
|
110 |
ТЕПЛООТДАЧА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА |
[ГЛ. V |
|
||
|
Воспользовавшись формулой (4-9)для |
получим |
отсюда для воздуха (Р = 0,72) при квадратичном |
распреде |
|
лении температурных напоров по радиусу диска зависимость N=/(R), которую достаточно точно можно выразить фор мулой
|
N = 0,0217 R0’8. |
(5.59) |
С |
другой стороны, вычисления значений N по фор |
|
муле |
(5.58) для R = 106 показывают, |
что зависимость от |
числа Р для турбулентного режима можно приближенно оценить множителем Р0’6, т. е.
<р(Р)^Р0-6. |
(5.60) |
Заметим, что, как и для ламинарного режима, |
число Р |
оказывает на теплоотдачу вращающегося диска более за метное влияние, чем при теплоотдаче плоской пластины.
§ 25. Расчет теплоотдачи при произвольном распределении температурных напоров по радиусу *)
Для определения влияния радиального градиента темпе ратур выведем интегральное соотношение энергии. Составим баланс тепла для кольцевого элемента теплового погранич
ного слоя толщины 6Т и ширины dr. |
Секундный поток тепла |
|
в радиальном направлении |
через этот |
элемент |
I |
5Т |
\ |
Cppd I *J 2tzrvrT dz j
\o /
уравновешивается теплоотдачей с поверхности диска в коль цевой полосе с площадью 2тсг dr:
2кдг dr.
Отсюда получаем без учета диссипации искомое инте гральное соотношение
/\
С$7г\/rvrTdz\---=rq. (5.61)
'о !
*) См. сноску 2) на стр. 104.
§ 25] ПРОИЗВОЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ температурных напоров 111
Введя условную толщину потери теплосодержания
** |
зт |
|
|
|
(* V Т |
|
<5’62) |
||
^=.1^г |
|
|||
|
о |
|
|
|
(температуру на внешней границе пограничного |
слоя пола |
|||
гаем равной нулю), можем преобразовать (5.61) к виду: |
||||
dr +М— PR . |
’I— 7-С1+г’ |
(5-63) |
||
ИЛИ |
|
|
|
|
d /**г-» 'г A |
N |
**о |
Г«) **л |
_ |
~~j~ \Rt fМ --- |
р ^СТ» |
Rt---v |
0Т • |
(5.64) |
Отметим что при этом Nep Для данного радиуса будет |
||||
равно |
|
|
|
|
Ncp;^^-*2PR-. |
|
|
(5.65) |
|
Для расчета теплоотдачи с помощью (5.64) при произ вольном градиенте температур используем идею об однопараметричности семейства профилей температур, подобно тому как это делается в методе Л. Г. Лойцянского х) рас чета динамического пограничного слоя на криволинейных поверхностях.
Заметим, что применение метода Л. Г. Лойцянского по зволило успешно решить задачу по определению теплоотдачи
криволинейных |
поверхностей при наличии продольного гра |
||
диента скоростей 21). |
|
|
|
Полагаем, |
что в |
рассматриваемом случае определяющий |
|
параметр /т представим в виде |
|
||
|
|
р)’ |
<5-66) |
1) Л о й ц я н с к и й |
Л. Г., Механика жидкости и |
газа, Физмат- |
|
гиз, 1959.
2) С к о п е ц М. Б., Приближенный метод расчета турбулент ного пограничного слоя при наличии теплообмена, Журнал техн, физики, т. XXV, № 5,1955; Моложен-Зысина Л. М., При ближенный метод расчета теплоотдачи в решетках профилей, Изв. АН СССР, ОТН, № 10, 1957.
112 |
Теплоотдача вращающегося дйййа |
[гл. v |
где G,r(RJ** |
Р) — универсальная (независимая от |
функция |
степенного |
вида: |
|
|
GT = ^(P)(R«)m |
(5.67) |
И |
x-^-GT(Rr; Р) |
(5.68) |
|
есть функция этого параметра.
Умножая обе части уравнения (5.64) на От и проведя
несложные |
выкладки J), получим |
обыкновенное |
дифферен |
||
циальное уравнение |
относительно |
формпараметра / : |
|||
|
d/„, |
/ ■п' |
т \ |
|
<5-69) |
|
-^=/Дт + т)+^’ |
||||
|
= |
|
FT = (/n-H)(z-/T). |
(5.70) |
|
Так как |
по предположению |
От не зависит |
от т), то ее |
||
вид легко получим по известному из § 23 решению для слу чая 7,ст = с0г2, нормируя z так, чтобы в указанном слу чае х= 1. Как и для течения вблизи плоской стенки, можем полагать, что функция FT сохранит свой вид
F =(/п+1)(1—Д) |
(5.71) |
для широкого класса распределений Гот (г). |
Тогда из урав |
нения (5.69) будем иметь: |
|
j, __ у,—(т+1)^.—(?п+2)
Jт |
Чх ст |
f T™+1rm+2dr-\-C , (5.72)
о
где С = 0 из условия конечности / при 7'ci = c0r2 для г —0.
В |
результате |
получим для **R формулу |
|
(R**) |
m+1 = |
R7'cT(OT+1)r-(™+3) |
*У T™+1rm+2 dr. (5.73) |
|
|
т |
о |
Значения АТ и т получим, если учтем, что при 7’ст = с0г2 формула (5.68) дает
с _ Rp
ит— N ,
1) См. сноску i) на стр. 111.