16 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
Подстановка (2.6) приводит уравнения (1.1), (1.2) к виду (штрихами обозначены производные по С):
F2 —G2+F'H=FZ'
2FG + G'H=G",
(2.7)
НН' = Р'-^-Н", 2F + H' = Q,
а граничные условия будут:
F = 0, |
0=1, |
Н = 0 при |
F = 0, |
0 = 0 |
(2-8) |
при |
Заметим, что при такой замене вязкие члены в правой части уравнений (1.1) сводятся только к последним слагаемым, представляющим производные по направлению, нормальному
к плоскости |
диска, так что уравнения движения тождественны, |
||||
уравнениям пограничного слоя. |
|
|
|||
Первые два уравнения (2.7) совместно с последним дают |
|||||
возможность |
определить F, |
О, |
И, |
а третье — значения Р. |
|
Если И— с |
при С-> оо, |
то можно формально построить!) |
|||
разложения по |
степеням |
для |
F, |
О и Н, удовлетворяю |
|
щие дифференциальным уравнениям и условиям на бесконеч ности. Нетрудно определить, что первыми членами разло жений будут
|
|
Ai + B2 |
е-2Л |
Л(^+В2) |
_3ес _ |
|
|
2с2 |
|
4с< |
|
|
|
Д 2 _|_ Д2 |
|
|
|
|
|
--Л4^(17Л2+В2)е-4О:+ •••’ |
|||
О = Ве-^ |
В(42-г№) с_3л, , |
|
|||
12В |
|
|
(2.9). |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
18c6 |
-!-•••- |
Н = — с 4------ е-с- |
2c3 |
|
|
||
|
1 |
с |
|
|
|
т |
6c5 |
° |
288c7 |
(17Л2 +fi2) e |
4e’ + • • ■ |
Остается определить |
только |
значения постоянных А, В и с. |
|||
9 Cochran W. Q., The flow due to rotating disc, Proc. Cambr. Philos. Soc., t. 30, № 3, 1934.
§ 41 |
|
ТОЧНОЕ |
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |
НАВЬЕ-СТОКСА |
|
17 |
||||||||||||
|
С другой стороны, можно получить |
формальное разло |
||||||||||||||||
жение |
вблизи |
С = 0, |
удовлетворяющее |
(2.7) |
и |
граничным |
||||||||||||
условиям |
при £ = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Г, |
у |
|
1 |
r2 |
|
1 |
, |
уЗ |
1 ,'iyi |
|
1 |
у5 |
, |
|
|
1 |
|
|
Т7 |
■ а.(у, |
|
С |
|
-g |
|
|
bo-, |
-gQ- п0, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
(1 |
|
arfin |
\ |
/ |
bn |
I |
апЬп |
\ |
Г7 |
I |
|
|
|
|||
|
|
|
________re |
I |
______ ®_ |
0 0 |
|
’ |
|
|
||||||||
|
|
|
360 |
|
90 |
/ |
’К 315 |
|
1260 / |
|
|
|
|
|||||
о=1+*ос+4 |
|
|
|
(«<л - щ4 - 4 v— |
■ |
(2.10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ао |
| |
^0 |
ув |
| |
( |
ао |
60 |
|
й0^0 \ р | |
|
|
|
|
||||
|
\ 90 |
' |
45 / ’ |
' |
\ 315 |
315 |
|
252 / |
|
|
‘ |
’ |
|
|||||
Н = -а^. |
|
|
|
|
|
'О’* + W |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
а0, |
^ — неизвестные постоянные. |
находятся из условия |
|||||||||||||||
|
Значения постоянных А, В, с, а0, Ьо |
|||||||||||||||||
непрерывного |
сращивания значений |
функций F, О и Н и |
||||||||||||||||
их |
производных, |
получаемых |
из |
разложений (2.9) |
и |
(2.10). |
||||||||||||
Если задаться |
приближенными значениями |
а0 |
и |
Ьо, |
то |
с по |
||||||||||||
мощью |
(2.10) |
находятся величины |
F, |
G и Н и их |
произ |
|||||||||||||
водные для малых значений С Затем методом Адамса можно |
||||||||||||||||||
продолжить |
решения |
дифференциальных |
уравнений |
(2.7) |
||||||||||||||
к большим значениям С. Сравнением полученных значений |
||||||||||||||||||
функций и их производных в |
точках С= 1,9 и |
2,5 со зна |
||||||||||||||||
чениями, которые даются разложениями (2.9), Кокрэн1) чис |
||||||||||||||||||
ленным путем уточнил величины постоянных а0 и Ьо и нашел |
||||||||||||||||||
значения с, |
А и В. Его результаты |
дают: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ао = О,51О; Ьо = — 0,616; |
|
|
|
|
|
(2.И) |
|||||||||
|
|
|
|
с = 0,886; |
А — 0,934; |
В = 1,208. |
|
|
||||||||||
|
Значения функций F, О, И, Н', G' и Р, |
вычисленные |
||||||||||||||||
Кокрэном, приводятся в таблице 1. Первые три функции |
||||||||||||||||||
графически представлены на рис. 1. |
Из графиков видно, что |
|||||||||||||||||
расстояние от стенки, на котором окружная скорость течения |
||||||||||||||||||
понижается до половины окружной скорости стенки, равно |
||||||||||||||||||
§0,5 ~ j/v/d). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4) См. |
сноску на |
стр. |
16. |
ГОС. |
ПУБЛИЧНА |
|
I’-X |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НАУЧН-ТЕХНЙЧЕСИАЯгУ«/| |
|||||||||
2 Зак. 944. Л. А. Дорфман |
БИБЛИОТЕКА СССР | |
18 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
Таблица 1
Значения функций, определяющих распределение скоростей и давления вблизи диска,
|
|
|
вращающегося в неподвижной жидкости |
|
||||
|
|
|
|
(по В. |
Кокрэну) |
|
|
|
_ |
1/ ш |
F |
О |
-н |
—р |
F' |
-G' |
|
C=z у |
— |
|||||||
|
0 |
|
0 |
1,000 |
0 |
0 |
0,510 |
0,616 |
|
0,1 |
|
0,046 |
0,939 |
0,005 |
0,092 |
0,416 |
0,611 |
|
0,2 |
|
0,084 |
0,878 |
0,018 |
0,167 |
0,334 |
0,599 |
|
0,3 |
|
0,114 |
0,819 |
0,038 |
0,228 |
0,262 |
0,580 |
|
0,4 |
|
0,136 |
0,762 |
0,063 |
0,275 |
0,200 |
0,558 |
|
0,5 |
|
0,154 |
0,708 |
0,092 |
0,312 |
0,147 |
0,532 |
|
0,6 |
|
0,166 |
0,656 |
0.124 |
0,340 |
0,102 |
0,505 |
|
0,7 |
|
0,174 |
0,607 |
0,158 |
0,361 |
0,063 |
0,476 |
|
0,8 |
|
0,179 |
0,561 |
0,193 |
0,377 |
0,032 |
0,448 |
|
0,9 |
|
0,181 |
0,517 |
0,230 |
0,388 |
0,006 |
0,419 |
|
1,0 |
|
0,180 |
0,468 |
0,266 |
0,395 |
—0,016 |
0,391 |
|
1,1 |
|
0,177 |
0,439 |
0,301 |
0,400 |
—0,033 |
0,364 |
|
1,2 |
|
0,173 |
0,404 |
0,336 |
0,403 |
—0,046 |
0,338 |
|
1,3 |
|
0,168 |
0,371 |
0,371 |
0,405 |
—0,057 |
0,313 |
|
1,4 |
|
0,162 |
0,341 |
0,404 |
0,406 |
—0,064 |
0,290 |
|
1,5 |
|
0,156 |
0,313 |
0,435 |
0,406 |
—0,070 |
0,268 |
|
1,6 |
|
0,148 |
0,288 |
0,466 |
0,405 |
—0,073 |
0,247 |
|
1,7 |
|
0,141 |
0,264 |
0,495 |
0,404 |
—0,075 |
0,228 |
|
1,8 |
|
0,133 |
0,242 |
0,522 |
0,403 |
—0,076 |
0,210 |
|
1,9 |
|
0,126 |
0,222 |
0,548 |
0,402 |
—0,075 |
0,193 |
|
2,0 |
|
0,118 |
0,203 |
0,572 |
0,401 |
—0,074 |
0,177 |
|
2,1 |
|
0,111 |
0,186 |
0,596 |
0,399 |
—0,072 |
0,163 |
|
2,2 |
|
0,104 |
0,171 |
0,617 |
0,398 |
—0,070 |
0,150 |
|
2,3 |
|
0,097 |
0,156 |
0,637 |
0,397 |
—0,067 |
0,137 |
|
2,4 |
|
0,091 |
0,143 |
0,656 |
0,396 |
-0,065 |
0,126 |
|
2,5 |
|
0,084 |
0,131 |
0,674 |
0,395 |
-0,061 |
0,116 |
|
2,6 |
- |
0,078 |
0,120 |
0,690 |
0,395 |
—0,058 |
0,106 |
|
2,8 |
0,068 |
0,101 |
0,721 |
0395 |
—0,052 |
0,089 |
|
|
3,0 |
|
0,058 |
0,083 |
0,746 |
0,395 |
—0,046 |
0,075 |
|
3,2 |
|
0,050 |
0,071 |
0,768 |
0,395 |
—0,040 |
0,063 |
|
3,4 |
|
0,042 |
0,059 |
0,786 |
0,394 |
—0,035 |
0,053 |
|
3,6 |
|
0,036 |
0,050 |
0,802 |
0,394 |
—0,030 |
0,044 |
|
3,8 |
|
0,031 |
0,042 |
0,815 |
0,393 |
—0,025 |
0,037 |
|
4,0 |
|
0,026 |
0,035 |
0,826 |
0,393 |
—0,022 |
0,031 |
|
4,2 |
|
0,022 |
0,029 |
0,836 |
0,393 |
—0,019 |
0,026 |
|
4,4 |
|
.0,018 |
0,024 |
0,844 |
0,393 |
—0,016 |
0,022 |
|
оо |
|
0 |
0 |
0,886 |
0,393 |
0 |
0 |
§ 4] ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА 19
На рис. 2 приведены результаты замеров Грегори и Вол кера !) поля скоростей около вращающегося диска при лами
нарном режиме. Изображаются значения полной |
касательной |
||||||
скорости |
г---------- |
и |
F |
<I> = arctg-^-, |
который |
||
Vт — У |
+ |
угла |
|||||
составляет |
вектор |
полной |
касательной скорости |
с |
окружным |
||
Рис. 1. Распределение скоростей около диска, вращающегося в неподвижной жидкости (по Кокрэну).
взятые из расчетов Кокрэна. С учетом погрешностей замеров следует признать хорошим соответствие опытных и теорети ческих величин. Замеры показывают также, что значения F и G на всех радиусах одинаковы, т. е. толщина погранич ного слоя не зависит от радиуса.
Полученное решение справедливо лишь для бесконечной вращающейся пластинки. Однако, пренебрегая влиянием
кромки, |
можно определить |
момент сил трения для вращаю |
|
щегося |
диска радиуса R, |
если только этот радиус |
велик |
по сравнению с толщиной слоя, увлекаемого диском. |
|
||
9 Gregory N., Stuart J. Т. and Wa 1 ker W. S., |
On the |
||
stability of three-dimensional boundary layers with application to the
flow due to a rotating disc Philos. Transaction Roy. Soc., ser. A t. 248, № 943, 1955.
2*
20 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |