238 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
На рис. 113 представлены также профили меридиальных скоростей UlUm в пограничном слое для тела //в десяти точках.
Используя полученные выше решения для динамического пограничного слоя, Ямагапровел приближенный расчет
Рис. ИЗ. Профили меридиональных скоростей в пограничном слое вращающегося осесимметричного тела II обтекаемой формы (по Шлихтингу).
теплоотдачи поверхности осесимметричного тела, вращающегося в однородном потоке несжимаемой жидкости. Для этого он выводит соответствующее интегральное соотношение для теплового пограничного слоя (подобное выведенному в § 25
для диска). Далее |
он решает задачу способом Динемана2*). |
||||
!) Yamaga Jо ji, |
An approximate solution of the laminar flow |
||||
heat — transfer on |
a |
rotating |
axially symmetrical body surface in a |
||
uniform incompressible |
flow, |
J. |
Meeh. Lab. Japan, t. 2, № 1, 1956. |
||
2) Diene tn ann, |
|
Berechnung der Warmeiiberganges am lami |
|||
nar angestromter |
Korpern |
mit konstanter und ortsveranderlicher |
|||
Wandtemperatur, ZAMM, № 3, 1953.
§ |
53J |
ВРАЩЕНИЕ ШАРА |
239 |
|
|
§ 53. Вращение шара в неограниченной |
|
|
|
неподвижной среде |
|
|
Как уже указывалось, развитая выше теория неприменима |
||
к |
случаю, когда ы/д)> 0,815, т. е. к случаю |
вращения тел |
|
в |
неподвижной среде. Поэтому представляет |
интерес рас |
|
смотреть |
приближенное решение Хоуартаг) для вращающе |
||
гося в неподвижной среде шара. С учетом того, что в слу чае шара радиуса Rm
R (х) = Rm sin 9, —— — cosS, x = Rm§,
система уравнений (8.1) для неподвижной среды ^-^- = 0
примет вид: |
|
|
|
|
1 ди . |
dw . |
и , |
„ |
п |
и ди , |
ди |
Vs |
. а |
д2и |
|
|
|
|
(8.51) |
и dv , |
dv , |
UV , |
а |
d’-v |
тг.гг+тг+^,> = dz2
Заметим, что в случае шара величина z для данной точки есть разность между расстоянием г данной точки от центра
шара и радиусом |
шара: z — r — Rm. |
полюса (& = 0) приме |
||
Для определения |
решения вблизи |
|||
ним |
разложение |
в |
ряд по степеням |
&, введя аналогично |
диску |
новую переменную |
|
||
Таким образом, будем иметь ряды:
v = Rm«> [WH-&3O3+ • • ■],
w = |
+ . . .]/ |
1) Howarth L., Note on |
the boundary layer on a rotating |
sphere Philos. Magazine, t. 42, № 334, 1951.
240 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Подставляя (8.52) в (8.51) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях 0, получим для первых шести функций следующие уравнения:
2F1G1-^H1G'1 = G'', |
(8.53) |
2F1-|-/7' = 0; |
|
4/^3 + F'W3 + F'^ +4 G] - 2OA = F", |
|
2FsGt + 4F1G3 + Я3О; + H.G' — ± F& = G'', |
(8.54) |
|
|
4F3 + W' —|Л = О, |
|
где штрихи обозначают дифференцирование по |
перемен |
ной С. |
|
Граничными условиями задачи, как нетрудно проверить,
будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 = F'3 = 0, ^=1, |
G3 = —i- |
|
|||
|
|
Я1 = 0, |
Я3 = 0 |
при |
С = 0; |
(8.55) |
|
|
|
|
|||||
|
|
Gt — О3=7\ = F3 = 0 |
при |
оо. |
|
||
Как видно, уравнения (8.53) есть уравнения Кармана (2.7) |
|||||||
для вращающегося диска. Поэтому |
можно воспользоваться |
||||||
для |
них |
решением |
Кокрэна |
(§ |
4), |
а затем, |
подставив их |
в (8.54), найти функции F3, G3, Hs. |
|
|
|||||
Однако ввиду сложности системы |
(8.54), а |
также ввиду |
|||||
того, |
что |
ее решение дает результат лишь для узкой области |
|||||
у полюсов, имеет смысл попытаться разыскать приближенное
решение, справедливое для |
всех значений |
& от 0 до |
С этой целью применим |
интегральный |
метод Кармана *). |
Проинтегрируем второе уравнение системы (8.51) вдоль толщины пограничного слоя с учетом первого уравнения и граничных условий; тогда получим:
S*
~J‘u2dz-\- I'(zz2 —r>2)ctg 8-dz= —(8.56)
оо
!) См. сноску на стр. 15.
§ 53] |
ВРАЩЕНИЕ ШАРА |
241 |
Аналогично из последнего уравнения (8.51) |
найдем: |
|
S |
8 |
|| |q . (8.57) |
У uvdz-^2 fan ctg 8 dz = — |
||
оо
Заметим, что эти интегральные соотношения можно также получить методом, примененным в § 15.
Если следовать методу Кармана для вращающегося дисках), то нужно представить составляющие скорости в виде
и = Л (£ —— 3£3 —2|4) — |
sin 8 cos 8 Q- ? — £3 + 4^)- |
||||||||||
v = wRm sin 8 f 1 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = I'z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.58) |
Они удовлетворяют граничным условиям: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
СП |
|
а |
<Э2И |
|
<s>^Rm ■ |
о |
в |
|
|||
при£ = 0 |
и = 0, |
-515-=----------- — sin 8 cos 8, |
|
||||||||
Г |
|
|
О;2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
. 0 |
|
d”-v |
|
п |
|
|
|
|
|
•u = (D#msin8, |
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|||
, |
и |
п |
du |
„ |
|
|
|
„ |
dv |
п |
|
при £=1 |
0, |
-= = 0, |
11 = 0, |
*-= |
= 0. |
|
|||||
г |
|
|
<75 |
|
|
|
|
|
OZ |
|
|
Написанные здесь |
граничные |
условия |
для второй |
произ |
|||||||
водной следуют |
непосредственно |
из |
|
уравнений |
(8.51). Зна |
||||||
чение А есть з(-^М . Величины Ли 8 — неизвестные, |
кото- |
||||||||||
\ |
dz /о |
|
|
|
|
|
|
соотношений (8.56) |
|||
рые нужно определить из интегральных |
|||||||||||
и (8.57). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если, далее, обозначить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л = |
|
sin 8 cos 8, |
|
8 = (-^02k, |
|
(8.59) |
|||||
то задача сведется к |
определению новых неизвестных / и к. |
||||||||||
В случае вращающегося диска |
(§ |
|
16) |
ясно, что |
|
||||||
аа
*J v2 dz J и2 dz,
оо
!) См. сноску на стр. 15.
16 Зак. 944. Л. А. Дорфман
242 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
5
следовательно, можно пренебречь членом J и2 dz по сравне-
|
s |
0 |
|
|
нию с |
v2 dz. Поэтому попытаемся и для |
случая |
шара |
|
|
о |
г |
|
|
пренебречь величиной *J |
|
|
||
и-dz в интегральном |
соотношении |
|||
(8.56). |
о |
соотношения |
|
|
Из полученного |
|
|
||
|
а |
|
|
|
|
О |
|
|
|
находим: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(8.60) |
|
Х= /(1 — -^ + -1^ = 0,2357. |
|||
О
Используя это значение /, получим из (8.57) уравнение
+ 2 ctg &) (0,00864 sin2 8- cos 8Х3) = JL sin 8,
так что
sin 8 cos 8 -|- (4 cos2 & — sin2 8) X4 = 173,6,
или
-^■\sin3 8cos3 8X4} = 231,5 sin 3 8cos38, |
(8.61) |
откуда получим окончательно для величины X значения
9 13 |
i |
(8.62) |
—is""1’5 4 y>sin®8cos38 J8. |
||
sin3 8 cos3 8 о
Для малых & это соотношение должно давать результат, близкий к значениям для вращающегося диска. Действительно, при малых 8 получаем Х4 = 43,4 и
Х = 2,57, |
= 0,61 |
^ — 0,58-^, |
\ oz /0 |
.//, |
\дг/0 |
v7a |