Материал: Эффект поля в микроэлектронике

Проведем подсчет плотности тока для донорного полупроводника, электроны проводимости которого будем рассматривать как идеальные частицы, не имеющие собственного объема и не взаимодействующие друг с другом. Пусть их концентрация п, а скорость дрейфового движения v. Поскольку плотность тока есть заряд, проходящий в единицу времени через единичное сечение, то

j=-env.  (5)

Электрическое поле напряженности Е сообщит электрону с массой т ускорение, равное

. (6)

За время свободного пробега τ электрон приобретает дрейфовую скорость

 (7)

Величина

 (8)

называется подвижностью носителей заряда. Подвижность носителей заряда численно равна скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности. Из (7) следует, что

 (9)

С учетом (8) выражение (5) для плотности тока примет вид:

j=-env=enμE (10)

т.к. вектор скорости электронов v направлен в противоположную сторону вектора E. Удельная электропроводность на основании закона Ома может быть выражена при помощи (10) как

 (11)

.2 Основы зонной теории полупроводников

Твердое тело, как известно, состоит из атомов, т. е. из ядер атомов и электронов. Ядра атомов образуют кристаллическую решетку, которая обладает свойством пространственной периодичности. При наложении внешнего электрического поля решетка практически не деформируется, хотя ядра атомов и заряжены. Это происходит потому, что силы, удерживающие ядра атомов в узлах кристаллической решетки, обычно значительно больше тех сил, которые создаются внешними электрическими полями. Те из электронов, которые не находятся близко к ядру атома и поэтому к нему не очень сильно притягиваются, могут передвигаться по твердому телу, создавая электрический ток. Однако при количественном описании этого явления возникают серьезные трудности. Они связаны с тем, что электроны являются заряженными частицами и при своем движении по твердому телу встречаются с другими электронами. Но так как между электронами действуют электрические силы отталкивания, то движение электрона оказывается зависимым от движения окружающих его электронов. Иными словами, в рассматриваемом случае надо решать не одноэлектронную, а многоэлектронную задачу. Поэтому для определения стационарных состояний и энергетического спектра совокупности большого числа атомных ядер и электронов в кристалле нужно решить уравнение Шредингера:

ĤФ=ЕФ (12)

где Н - гамильтониан кристалла; Ф - собственная волновая функция гамильтониана; E энергия кристалла.

Значения волновой функции кристалла зависят от координат всех электронов и всех атомных ядер.

Оператор Гамильтона представляющий собой сумму операторов кинетической и потенциальной энергий, выраженный через импульс и координаты, включает в себя следующие операторы:

) оператор кинетической энергии электронов

) оператор кинетической энергии ядер

) потенциальную энергию попарного взаимодействия электронов

) потенциальную энергию попарного взаимодействия ядер

) потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами

Разделим всю систему частиц на легкие (электроны) и тяжелые (атомные ядра). В равновесном состоянии средние значения кинетической энергии этих частиц одного порядка. Так как масса ядра намного больше массы электрона, то скорости движения электронов намного превосходят скорости ядер (приблизительно на два порядка). При каждом изменении положения атомных ядер практически мгновенно устанавливается пространственное распределение электронов, соответствующее новому положению ядер. Это позволяет в первом приближении рассматривать движение электронов в потенциальном поле фиксированных ядер. В этом случае волновая функция и энергия электронов будут некоторыми функциями, адиабатически меняющимися с изменением расположения ядер, координаты которых будут входить в эти функции как параметры. При изучении движения ядер, напротив, следует учитывать не мгновенное положение электронов, а поле, создаваемое их средним пространственным распределением. Такое приближенное рассмотрение называется адиабатическим, или приближением Борна - Оппенгеймера.

Однако только адиабатического приближения еще недостаточно для точного решения уравнения Шредингера для кристалла.

Следующим, из наиболее распространенным методов приближения для решения многоэлектронной задачи для кристалла является метод Хартри - Фока, позволяющий многоэлектронную задачу свести к одноэлектронной. Его идея заключается в том, что энергия попарного взаимодействия электронов заменяется взаимодействием каждого электрона с усредненным полем всех остальных электронов. Потенциальная энергия электрона в этом поле зависит не только от движения всех остальных электронов, но и зависит и от движения данного электрона, так как его движение оказывает влияние на движение остальных электронов. Поскольку поле определяет не только движение данного электрона, но и само зависит от его движения, то это поле получило название самосогласованного.

При таком приближении гамильтониан кристалла представляет собой сумму гамильтонианов отдельных электронов, каждый из которых зависит от координат одной частицы.

Для этого случая волновая функция системы частиц может быть представлена как произведение волновых функций, описывающих состояние отдельных частиц системы. Это означает, что электроны ведут себя независимо друг от друга (как бы не взаимодействуя), а полная энергия системы частиц равна сумме энергии отдельных электронов.

Таким образом, введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как частицы невзаимодействующие, т. е. двигающиеся независимо друг от друга. Это и является основанием для представления электронов проводимости в виде идеального газа. Введение самосогласованного поля позволяет задачу многих частиц свести к задаче для одного электрона:

, (12)

где Ĥ, Ψ, E- соответственно гамильтониан, волновая функция и энергия электрона в кристалле.

Если ввести обозначение для потенциальной энергии электрона в кристалле через функцию V (r), то уравнение Шредингера для электрона кристалла запишется в виде

(13)

Существуют различные способы рационального выбора вида функции Ψ(r) для решения одноэлектронной задачи. Наиболее часто для этого используются состояния электрона, находящегося в потенциальном поле всех ионов решетки, заряд которых в среднем скомпенсирован зарядом валентных электронов, т. е. в поле периодического потенциала. Иными словами, принимается, что член V(r) есть полный потенциал кристалла, обладающий трехмерной периодичностью решетки. Это означает, что

(14)

где вектор трансляции

(15)

a₁, a₂, a₃ - периоды идентичности решетки по трем произвольным направлениям, а n₁, n₂, n₃ - произвольные целые числа. В этом случае волновая функция электрона в кристалле с учетом условий нормировки может быть представлена в виде

 (16)

где функция

 (17)

обладает трехмерной периодичностью кристаллической решетки, и k - постоянный вектор, характеризующий квантовое состояние электрона в кристалле, который называется волновым вектором. Поскольку произведение (ka_n) должно быть безразмерным, то волновой вектор имеет размерность обратной длины (см^-1) и численно равен k = 2π/λ.

Таким образом, стационарная волновая функция электрона в периодическом поле кристалла зависит от волнового вектора k и имеет вид (16)где  представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении вектора k, a  - некая функция координат, зависящая от волнового вектора k и имеющая периодичность решетки. Выражение (16) для носит название волны (или функции) Блоха. Если ее подставить в уравнение (12), то будем иметь:

 (18)

Из равенства (18) следует, что энергия электрона в кристалле должна зависеть от волнового вектора k, т. е. Е = Е (k).

Следовательно, решением уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла является бегущая плоская волна, модулированная с периодичностью решетки, а энергия электрона зависит от волнового вектора k.

При описании движения электрона в периодическом поле кристаллической решетки квантовая механика дает такие результаты, которые удобно сравнивать с квантовомеханическими результатами для изолированного атома. Известно, что спектр излучения свободного атома представляет собой набор дискретных линий. Как показывает квантовая теория, это объясняется тем, что электроны в изолированном атоме обладают дискретными значениями энергии.

Одно из положений физики гласит, что состояние устойчивого равновесия, в котором система может долго находиться, определяется минимумом потенциальной энергии. С этой точки зрения все электроны в атоме должны были бы находиться в наинизшем энергетическом состоянии, т. е. на энергетическом уровне, который расположен ближе всего к ядру. Однако квантовомеханические законы накладывают на это положение ограничение, сформулированное Паули. Согласно принципу Паули на одном и том же энергетическом уровне может находиться не более двух электронов. При этом электроны должны иметь противоположно направленные спины.

Рассмотрим теперь, что происходит с энергетическими уровнями при взаимодействии большого числа атомов, образующих кристалл. Уровни энергии внутренних электронов, расположенных ближе к ядру, при этом почти не изменяются. Об этом можно судить по рентгеновским характеристическим спектрам, вид которых почти не зависит от соединения или агрегатного состояния вещества. Однако оптический спектр, обусловленный переходом самых внешних валентных электронов, резко меняется.

Если считать, что кинетическая энергия электронов значительно больше пространственных изменений его потенциальной энергии, то периодический потенциал V (r) можно рассматривать как малое возмущение свободного движения электронов. Такой подход, получивший название приближения почти свободных электронов, дает более или менее удовлетворительные результаты при решении некоторых задач для металлов.

Анализ физических свойств полупроводников более нагляден в приближении сильно связанных электронов, в котором считают, что состояние электрона в кристалле мало отличается от состояния его в изолированном атоме. Но такой подход применим только для электронов, находящихся на глубоких энергетических уровнях атомов, т. е. он применим для электронов, которые слабо взаимодействуют с атомами других узлов решетки. Поэтому приближения ни слабо, ни сильно связанных электронов не позволяют количественно описать состояние валентных электронов в кристалле. Другими словами, эти приближения не могут быть использованы для количественных расчетов энергетического спектра электронов конкретного вещества, но они хорошо иллюстрируют общие закономерности движения электрона в периодическом поле кристалла.

В приближении сильно связанных электронов считается, что состояние электрона в атоме кристалла мало меняется по сравнению с его состоянием в изолированном атоме. Для нахождения собственных значений энергии Е электрона в кристалле считается, что энергетический спектр изолированного атома известен. Обозначим гамильтониан изолированного атома через Ĥ_a, тогда гамильтониан кристалла Ĥ можно представить в виде:

Ĥ = Ĥ_а + W(r),

где W(r) - энергия возмущения для электрона в кристалле по сравнению с изолированным атомом. Проводимые с учетом этого расчеты позволяют сделать следующие выводы.

. Атомный уровень в кристаллической решетке расщепляется в полосу или зону, внутри которой энергия электрона периодически зависит от компонент волнового вектора k. Ширина энергетической зоны определяется так называемым обменным интегралом, величина которого в свою очередь определяется перекрытием электронных облаков соседних атомов. В силу этого для более высоких атомных уровней из-за большего перекрытия волновых функций образуется более широкая энергетическая зона (рис.3).

. Энергетические зоны в общем случае разделены запрещенными интервалами энергии Е_g, называемыми запрещенными зонами С ростом энергии ширина энергетических зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.