Материал: Эффект поля в микроэлектронике

. Уровень Е_а в изолированном атоме может быть вырожденным. В кристаллической решетке вырождение может быть частично или полностью снято. При этом атомный уровень расщепляется на несколько зон, число которых соответствует степени вырождения. Например, для р-состояния фактор вырождения g = 3, так как g = 2l+1, где l -азимутальное квантовое число, которое для р-состояния равно 1. Следовательно, из атомного р-состояния в кристалле возможно образование трех зон.

. При воздействии на кристалл температуры и давления, приводящих к изменению расстояния между атомами, будет изменяться область перекрытия волновых функций и, следовательно, величина обменного интеграла. Это вызовет изменение ширины энергетических зон, в результате изменится и ширина запрещенной зоны между этими зонами.

Рис. 3. Образование зон энергии из энергетических уровней при сближении атомов. a - постоянная решетки кристалла.

5. Метод сильной связи неприменим к внешним валентным электронам атомов кристаллов, так как из-за большого перекрытия волновых функций соседних атомов ширина энергетической зоны валентных электронов примерно равна расстоянию между уровнями энергии в изолированном атоме или превосходит их.

Рис. 4 Образование энергетических зон из атомных уровней в алмазе.

Для подсчета числа состояний в зоне нужно при решении уравнения Шредингера для электрона учесть граничные условия на краях кристалла. Любые условия на границах кристалла не отразятся существенным образом на состояниях электронов в его объеме, так как число узлов в любом реальном кристалле очень велико. Наиболее удобным для решения поставленной задачи является применение условия цикличности Борна- Кармана.

Рассмотрим кристалл в форме параллелепипеда с размерами по осям х, у, z соответственно L_x, L_y, L_z. Для кубической решетки с параметром а

(19)

где N_x, N_y, N_z - число атомов, укладывающихся на соответствующих ребрах кристалла. Потребуем, чтобы волновая функция Ψ имела на противоположных гранях параллелепипеда одно и то же значение. Такое условие не накладывает на вид волновой функции никаких физических ограничений, связанных с границами кристалла:

(20)

Уравнение (20) по существу выражает граничные условия цикличности Борна-Кармана. Учитывая вид волновой функции для кристаллов (16), получаем:

(21)

Для выполнения условия (20) необходимо в выражении (21) принять:

Это равенство выполнимо, если показатель экспоненты есть целое число, умноженное на 2πi, т. е.

(22)

где n₁, n₂, n₃, - произвольные целые числа. Отсюда следует, что

где  (22)

Таким образом, компоненты волнового вектора k изменяются не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений. В соответствии с этим оказывается квантовой и энергия электронов в разрешенной зоне.

С учетом значений волнового вектора k (22) можно записать волновую функцию для одномерной задачи в виде

(23)

где учтено, что R = ag, g - номер атома, т. е. целое число, а L_x=aN_x.

Из выражения (23) видно, что волновая функция для п₁ = ± N_X будет ψ_g и совпадает с функцией для п₂ = 0, а волновая функция для n₁= ± (N_x + 1) совпадает с функцией для n₁ = ± 1 и т.д. Это означает, что компонента k_x имеет _N_x значений, соответствующих различным n₁. При этом n₁ может принимать только значения 0, 1, 2, . . ., (N_x-l), так как Е (k) = E (- k), т. е. n₁ изменяется только в пределах

(24)

Из соотношений (24), (22) и (19) получаем, что компоненты вектора k находятся в следующих интервалах значений:

(25)

где k_x, k_y, k_z принимают соответственно N_x, N_y, N_z различных значений. Следовательно, в разрешенной зоне кристалла имеется всего  различных энергетических состояний (энергетических уровней), соответствующих различным k, равное числу элементарных ячеек в кристалле.

Согласно квантовой механике состояние электрона в атоме характеризуется главным квантовым числом п, азимутальным квантовым числом l, магнитным квантовым числом m и s_z - проекцией спина на ось z. Состояние электрона в кристалле согласно принципу Паули также должно описываться четырьмя квантовыми числами. Как следует из соотношения (22), тремя квантовыми числами являются проекции волнового вектора k_x, k_y, k_z, а четвертым квантовым числом должно быть s_z. Проекция s_z может принимать только два значения: + 1/2 и - 1/2. Это означает, что в состоянии (k_x, k_y, k_z) может быть не более двух электронов. Но набор (k_x, k_y, k_z) определяет величину энергии Е (k) для данной зоны. Следовательно, на каждом энергетическом уровне зоны, который определяется волновым вектором k, в соответствии с принципом Паули может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Таким образом, в простой энергетической зоне, возникшей из невырожденного атомного уровня имеется 2N квантовых состояний, соответственно N энергетических уровней, и в зоне может быть не более 2N электронов. Если зона g - кратко вырождена, то в ней может быть 2gN электронов. Из этого следует, что число квантовых состояний в зоне равно общему числу мест на уровнях изолированных атомов, из которых образовалась эта зона, т. е. имеет место сохранение числа состояний при образовании кристалла из атомов.

Оценим среднее расстояние между соседними уровнями энергии в разрешенной зоне. Примем значение параметра решетки а =4Å = 4·10^-8см, что дает объем элементарной ячейки а³ = 64·10^-24 см³. Число элементарных ячеек в кристалле единичного объема V = 1 см³, равное числу состояний в зоне, составит:

При ширине зоны 1 эВ среднее расстояние между ее уровнями будет порядка 10^-22 эВ, т. е. энергетическую зону можно считать квазинепрерывной.

.3 Квазиимпульс и эффективная масса носителей заряда

Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, как известно, можно охарактеризовать энергией Е и импульсом р. При этом связь между энергией и импульсом дается классической формулой

(26)

С другой стороны, согласно де Бройлю свободному электрону массы m₀, движущемуся со скоростью , соответствует волна, длина которой может быть определена из соотношения

(27)

где h - постоянная Планка. Так как волновое число k - число волн, укладывающихся на длине 2π см, равно:

(28)

то импульс свободного электрона

а его энергия

(30)

где ħ=h/2π - квант действия.

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести величину p = ħk, называемую квазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром k квазиимпульс р также квантован. Согласно неравенствам (25) в кубической решетке квазиимпульс должен изменяться в пределах

(31)

Как следует из (25) , в энергетической зоне кристалла имеется N энергетических состояний, которым соответствуют значения компонент квазиимпульса

(32)

где i = х, у, z, а j = 1, 2, 3. Для кристалла с простой кубической решеткой согласно соотношениям (25) и (31) достаточно рассматривать изменение компонент k_i и p_i в пределах

 (33)

Этим значениям квазиимпульса в системе координат (р_х, р_у, р_z) будет соответствовать некоторая область, построенная вокруг начала координат и содержащая все возможные различные состояния. Эта область называется первой, или основной, зоной Бриллюэна. Для кристалла с простой кубической решеткой первая зона Бриллюэна представляет собой куб объемом

(34)

В k-пространстве первая зона Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой также является кубом, объем которого

(35)

Первую зону Бриллюэна можно разбить на элементарные кубические ячейки объемом

(36)

и  (37)

где V = L³ = a³N_xN_yN_z = а³N - объем кристалла, а N= N_xN_yN_z - полное число элементарных ячеек в кристалле.

Поскольку объем первой зоны Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой равен (h/а)³, а объем элементарной ячейки h³/a³N, то число элементарных ячеек в ней составляет N, т. е. равно количеству энергетических состояний в зоне. Но в энергетической зоне может располагаться 2N электронов, следовательно, и в первой зоне Бриллюэна может быть 2N электронов, а в ее каждой ячейке может находиться только два электрона с противоположно направленными спинами.

Вторая и последующие зоны Бриллюэна, соответствующие второй и последующим энергетическим зонам, имеют более сложную конфигурацию, но их объем остается постоянным. Они также содержат N элементарных ячеек, каждой из которых можно сопоставить ячейку в первой зоне, изображающую эквивалентное состояние.

Заполнение электронами квантовых состояний валентной зоны различно для металлов и полупроводников. В металлах зона заполнена электронами либо частично, либо в валентной зоне все возможные электронные состояния заняты, но эта зона перекрывается со свободной, не занятой электронами. Наличие свободных незанятых состояний в зоне дает возможность электронам двигаться в ней под действием внешнего поля и переносить электрический заряд. Таким образом, для того чтобы в твердом теле протекал электрический ток, в валентной зоне должны быть свободные состояния. В полупроводниках число возможных состояний в валентной зоне равно количеству валентных электронов атомов, образовавших кристалл. В этом случае при температуре 0 К все электронные состояния в зоне заняты, на каждом уровне зоны располагается по два электрода с противоположно направленными спинами. Поэтому внешнее электрическое поле не может создать направленного движения такой совокупности электронов, ибо в заполненной зоне электроны могут только взаимно обмениваться местами. Следовательно, такой кристалл не может проводить ток, он является диэлектриком.

Проанализируем энергетический спектр кристаллов, образованных из элементов IV группы таблицы Менделеева, обладающих кристаллической решеткой типа алмаза. В нее входят углерод (алмаз), кремний, германий и серое олово. Электронная структура этих атомов такова (см. рис. 1), что в твердом состоянии у них в образовании ковалентной связи принимают участие четыре электрона каждого атома. При этом, как следует из рис. 4, зоны, образованные из ns- и nр- состояний, перекрываются, образуя общую зону с числом состояний 8N. С уменьшением межатомного расстояния эта зона затем расщепляется на две зоны с 4N квантовыми состояниями в каждой. Нижняя зона содержит 4N заполненных электронами состояний - это валентная зона, а у верхней зоны 4N электронных состояния свободны - это зона проводимости.

Найдем закон изменения квазиимпульса и волнового вектора от времени, то есть закон, который описывает движение электрона в кристалле при наличии внешнего электрического поля.

Как известно из квантовой механики, движение свободного электрона с волновым вектором k можно описать с помощью волнового пакета, представляющего собой суперпозицию плоских волн с непрерывно меняющимися значениями k в пределах 2Δk (от k- Δk до k +Δk). Движение волнового пакета характеризуется групповой скоростью , которая равна скорости перемещения какой-либо точки пакета, например его максимума. Координату этого максимума можно найти из условия  Отсюда следует, что

(38)

т. е. средняя скорость движения свободного электрона υ равна групповой скорости волнового пакета:

 (39)

Если воспользоваться соотношением для энергии Е = ħω, то средняя скорость свободного электрона будет определяться выражением вида

(40)

где р = ħk - импульс.

Движение электрона в кристалле описывается волновой функцией (16), которая определяется набором атомных волновых функций с разным значением k. Поскольку , где n = 0, 1, . . . , (N-l), а  и , то волновую функцию Ψ можно рассматривать как совокупность плоских волн, для которых k меняется почти непрерывно. В силу этого движение электрона в кристалле можно охарактеризовать волновым пакетом, составленным из блоховских функций. Поэтому выражение (40) будет справедливо и для средней скорости движения электрона в кристалле

(41)

или для трехмерного случая

(42)

где р = ħk - квазиимпульс.

Таким образом, средняя скорость электрона в кристалле определяется производной энергии по квазиимпульсу.

Рассмотрим случай, когда на электрон в кристалле действует внешняя сила F. Пусть Е(k) - энергия электрона в зоне, в которой он движется со скоростью v. Тогда согласно закону сохранения энергии имеем для одномерного движения:

 (43)

Так как

 (44)

то из сравнения равенств (43) и (44) с учетом (42)

 (45)

Рассмотрим теперь, как меняется импульс Р электрона кристалла в отсутствии внешнего поля. В кристалле с идеальной структурой, имеющей строго периодическое поле, электрон движется, оставаясь на одном и том же уровне зоны. Поскольку квазиимпульс электрона постоянен, то . Но со стороны поля решетки на электрон действует сила F_кр, она и определяет изменение его импульса Р, т.е.