Материал: Эффект поля в микроэлектронике

 (46)

Итак, если структура кристаллической решетки идеальна, то в периодическом поле решетки электрон движется вдоль всего кристалла, имея постоянный квазиимпульс и постоянную скорость. Это значит, что в периодическом поле решетки электрон движется без ускорения. Другими словами, в строго периодическом поле решетки электрон движется как свободная частица, без сопротивления, не рассеиваясь. Если кристалл с идеальной структурой поместить во внешнее поле, то, как следует из (45), движение электрона будет подобно движению свободной частицы под действием внешней силы F.

Пусть свободный электрон с массой m₀ находится в однородном электрическом поле Е. . а электрон действует сила F=-eE, под воздействием которой электрон приобретает ускорение

а=F  (47)

направленное также, как и внешняя сила.

Для электрона в кристалле, находящемся во внешнем электрическом поле, учитывая (41) и (45), можно записать:

 (48)

Обобщая (48) для трехмерного случая, получаем:

 (49)

В этом случае вектор ускорения а не совпадает по направлению с вектором силы F.

Совокупность величин , связывающих векторы а и F, является тензором второго ранга:

 (50)

Поскольку размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса, то размерность компонент тензора есть размерность обратной массы, а размерность есть размерность массы. Поэтому по аналогии с (47) для свободного электрона тензор (50) называется тензором обратной эффективной массы. Этот тензор симметричен относительно главной диагонали, т.к. . Выбрав соответствующую систему координат, можно свести симметричный тензор к диагональному виду:

 (51)

Тогда тензором, обратным тензору обратной эффективной массы, будет тензор эффективной массы

 (52)

Величины называются компонентами тензора эффективной массы. Для кристаллов, обладающих кубической симметрией, m₁=m₂=m₃=m^* и тензор вырождается в скаляр. В этом случае изоэнергетические поверхности представляют сферы и описываются уравнением

 (53)

а выражение для эффективной массы имеет вид

 (53а)

Когда электрон находится в окрестности минимума энергии, т.е. в окрестности дна зоны проводимости,

 и m*>0, (54)

т.е. электроны ведут себя как отрицательно заряженные частицы с положительной эффективной массой. При этом согласно (48) и (53) получаем F=m^*a и p=mv , т.е. ускорение направлено по направлению внешней силы, а скорость совпадает по направлению с квазиимпульсом. Следовательно, под действием внешнего электрического поля движение электрона, находящегося у дна энергетической зоны кубического кристалла, подобно движению свободной частицы, масса которой равна m*. Ускорение электрону в кристалле сообщает только внешняя сила. Действие поля решетки проявляется в том, что при наличии внешней силы движение электрона определяется не его обычной массой, а эффективной.

В окрестности максимума энергии, т.е. в окрестности валентной зоны,

 и m*<0 (55)

и направление ускорения электрона противоположно направлению действующей на него внешней силы и направлено по полю. Такой носитель заряда в окрестности вершины валентной зоны себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой и носит название дырки.

В качестве примера рассмотрим зонную структуру кремния. Поскольку зона проводимости и валентная зона кремния включают р-состояние (рис.4), для которого в кристалле вырождение снимается, то каждая из них представляет собой наложение трех различных зон. На рис.5 они представлены тремя ветвями Е(k). Эта зависимость неодинакова для разных кристаллографических направлений. Одна из ветвей зоны проводимости лежит значительно ниже других. Положение абсолютного минимума энергии определяет дно зоны проводимости. Минимумы энергии называют также долинами. Абсолютный минимум зоны проводимости у кремния лежит в направлении осей [100] недалеко от границы зоны Бриллюэна. Поэтому у кремния имеется шесть эквивалентных минимумов энергии, а следовательно на первую зону Бриллюэна приходится шесть эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии, вытянутых вдоль осей [100]. Значения компонент тензора эффективной массы электрона m₁=m₂=m_t и m₃=m_l, где m_t и m_l поперек осей симметрии и вдоль оси вращения эллипсоида, и называются соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Минимальное расстояние между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны называется шириной запрещенной зоны. У кремния экстремумы энергии электронов и дырок лежат в различных точках зоны Бриллюэна. Валентная зона также состоит из трех подзон, для всех максимумы находятся в центре зоны Бриллюэна k=0. Изоэнергетические поверхности представляют собой гофрированные поверхности.

Рис.5 Энергетическая зонная структура кремния.

Усреднение по различным направлениям в к-пространстве позволяет заменить гофрированную поверхность сферической. В этом случае эффективная масса является скалярной величиной и должно существовать два типа дырок: тяжелые  и легкие .

.4 Статистика электронов и дырок в полупроводниках

Важнейшая задача статистической физики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в определенном интервале. Для ее решения необходимо знать число квантовых состояний и вероятность нахождения частиц в этих состояниях. Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от Е до Е+dE имеется dZ квантовых состояний. Величина

 (56)

называется плотностью состояний. Если вероятность заполнения состояний с энергией Е равна f(E,T), то число электронов dn, находящихся в состояниях dZ, составит величину

 (57)

Соответственно полное число электронов, для которых возможный интервал энергии лежит в пределах от Е₁ до Е₂, будет равно:

 (58)

Рассмотрим сначала случай, когда поверхности равной энергии зоны проводимости и валентной зоны являются сферами. Согласно (53) энергия электрона у дна зоны может быть записана в виде

 (59)

Объем шарового слоя между двумя изоэнергетическими поверхностями равен

 (60)

Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна кристалла единичного объема в р-пространстве в соответствии с (36) равен h³. В каждой ячейке могут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. С учетом этого число состояний в объеме  равно:

 (61)

Исходя из (53) имеем:

, (62)

откуда

 (63)

Подставив равенства (61) - (63) в (56), получим

 (64)

Аналогично для плотности состояний вблизи верхнего края валентной зоны можно получить

 (65)

Для сложной зоны проводимости и валентной зоны, как не трудно показать, можно получить подобные выражения, если ввести так называемую эффективную массу плотности состояний для электронов  и для дырок  следующим образом

 (66)

Тогда, как и для простой зоны, получим

  (67)

и  (68)

для плотности состояний у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно.

В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми-Дирака

 (69)

где к - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, E_F - энергия Ферми или химический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу. Из (69) следует, что в случае Т=0 в интервале энергии имеем f₀=1 и f₀=0 для Е>E_F. Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Следовательно,энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля. При Т>0 и E=E_F имеем f₀=1/2. Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

 (70)

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией , выражение для f₀ принимает вид:

 (71)

т.е. совпадает с функцией распределения Максвелла - Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам. Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называется невырожденным.

Подставляя в интеграл (58) выражения (69) и (67), получим для концентрации электронов в зоне проводимости

 (72)

где N_c - эффективная плотность состояний в зоне проводимости:

 (73)

и М_с - число эквивалентных минимумов в зоне проводимости, а F_1/2(η_f) - интеграл Ферми - Дирака. Если полупроводник не вырожденный, то интеграл Ферми приближенно равен . При этом из выражения (72) получаем

 (74)

Аналогичным образом находим выражение для концентрации дырок в валентной зоне

 (75)

и для невырожденного случая

 (76)

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

 (77)

При конечных температурах в полупроводнике непрерывно происходит процесс теплового возбуждения электронов из валентной зоны в зону проводимости. Этот процесс уравновешивается рекомбинацией электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны. В собственном полупроводнике число возбужденных электронов в зоне проводимости равно числу дырок, оставшихся в валентной зоне, т.е. n=p=n_i. Из этого условия с помощью формул (74) и (76) для уровня Ферми в собственном полупроводнике получим

 (78)

Отсюда видно, что в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит около середины запрещенной зоны.

Для собственной концентрации носителей n_i из выражений (74), (76) и (78) получим

 (79)

или  (80)

где E_g=E_c-E_v - ширина запрещенной зоны.

При комнатных температурах собственная концентрация носителей тока n_i довольно мала по сравнению с уровнями легирования, характерными для полупроводниковой технологии. Однако с повышением температуры n_i быстро увеличивается. Например, в кремнии собственная концентрация удваивается при повышении температуры на каждые 11⁰С. Следовательно, при достаточно высоких температурах термогенерация становится доминирующим процессом, определяющим концентрацию носителей тока. Температура T_i, при которой собственная концентрация носителей сравнивается с концентрацией легирующей примеси, называется собственной температурой и является важным параметром работы полупроводниковых устройств. Ниже T_i концентрация основных носителей в полупроводнике слабо зависит от температуры, а выше увеличивается с ростом температуры экспоненциально.