Курсовая работа (т): Эконометрика. Корреляционный анализ
Эконометрика. Корреляционный анализ
Задача 1
По данным основных показателей производства с/х предприятий:
а. Построить график зависимости между двумя признаками, определив какой из них будет результативным, а какой факторным;
б. Установить тип зависимости и МНК, определить параметры уравнений регрессии (линейного степенного, показательного и т. п.);
в. Оценить тесноту связи;
г. Оценить качество и адекватность уравнений регрессии;
д. Оценить статическую зависимость.
Зависимость изучить по следующим парам признаков (не менее 5 предприятий):
число работников предприятия и валовый доход.
регрессия уравнение корреляция детерминация
Дано:
|
№ п/п |
Число работников, сот. чел |
Валовый доход, млн. руб |
|
1 |
12,8 |
9,1 |
|
2 |
4,3 |
9,1 |
|
3 |
4,2 |
5,2 |
|
4 |
4,8 |
2,7 |
|
5 |
7,8 |
1,0 |
|
6 |
9,0 |
7,6 |
|
7 |
3,5 |
2,9 |
|
8 |
6,2 |
7,9 |
|
9 |
8,1 |
3,5 |
|
10 |
1,7 |
0,6 |
|
11 |
5,7 |
8,6 |
|
12 |
11,3 |
18,8 |
|
13 |
3,0 |
1,7 |
|
14 |
4,0 |
1,6 |
|
15 |
4,2 |
9,3 |
|
16 |
4,6 |
2,8 |
|
17 |
2,4 |
0,2 |
|
18 |
7,4 |
3,1 |
|
19 |
3,9 |
2,8 |
|
20 |
4,4 |
2,0 |
Решение.
Предварительный анализ:
Построим поле корреляции - по оси абсцисс
откладываем значения фактора Х - числа работников, по оси ординат - валовый
доход.
Разброс точек очень большой
Поэтому для рассмотрения возьмем предприятия №№
1, 4, 6, 8, 10, 13, 19.
|
№ п/п |
Число работников, сот. чел |
Валовый доход, млн. руб |
|
|
1 |
1 |
12,8 |
9,1 |
|
2 |
4 |
4,8 |
2,7 |
|
3 |
6 |
9,0 |
7,6 |
|
4 |
8 |
6,2 |
7,9 |
|
5 |
10 |
1,7 |
0,6 |
|
6 |
13 |
3,0 |
1,7 |
|
7 |
19 |
3,9 |
2,8 |
. Построение регрессионных моделей
Построение уравнения регрессии сводится к оценке
его параметров. Классический подход - применение метода наименьших квадратов
(МНК). При этом сумма квадратов отклонений фактических значений результативного
признака у от теоретических значений 
должна
быть минимальной, т. е
.
А. Линейная модель
Линейная регрессия сводится к нахождению
уравнения вида
= a + b ⋅
x или
y = a + b ⋅
x + ε
.
Уравнение вида 
х
= a + b ⋅
x позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения
результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x .
Построение линейной регрессии сводится к оценке
ее параметров - a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной
регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить
такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений
фактических значений результативного признака y от теоретических ɵyx
минимальна:
.
Для оценки параметров необходимо вычислить суммы
.
Составим таблицу:
|
Вспомогательные расчеты для линейной регрессионной модели |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
№ п/п |
Х |
У |
Х^2 |
Y^2 |
XY |
У* |
(У-У*) |
(У-У*)^2 |
A |
|
|||||||||
|
1 |
12,8 |
9,1 |
163,84 |
82,81 |
116,48 |
10,2446 |
-1,1446 |
1,31013 |
12,5781 |
|
|||||||||
|
2 |
4,8 |
2,7 |
23,04 |
7,29 |
12,96 |
3,71975 |
-1,0198 |
1,03989 |
37,7686 |
|
|||||||||
|
3 |
9 |
7,6 |
81 |
57,76 |
68,4 |
7,1453 |
0,4547 |
0,20675 |
5,98288 |
|
|||||||||
|
4 |
6,2 |
7,9 |
38,44 |
62,41 |
48,98 |
4,8616 |
3,0384 |
9,23186 |
38,4607 |
|
|||||||||
|
5 |
1,7 |
0,6 |
2,89 |
0,36 |
1,02 |
1,19137 |
-0,5914 |
0,34972 |
98,5618 |
|
|||||||||
|
6 |
3 |
1,7 |
9 |
2,89 |
5,1 |
2,25166 |
-0,5517 |
0,30433 |
32,4506 |
|
|||||||||
|
7 |
3,9 |
2,8 |
15,21 |
7,84 |
10,92 |
2,98571 |
-0,1857 |
0,03449 |
6,63236 |
|
|||||||||
|
Итого |
41,4 |
32,4 |
333,42 |
221,36 |
263,86 |
32,4 |
9,4E-15 |
12,477 |
232,435 |
|
|||||||||
|
Среднее |
5,91429 |
4,62857 |
47,6314 |
31,6229 |
37,6943 |
|
|
1,782 |
38,7392 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Уравнение линейной регрессии |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
σх = |
3,55706 |
|
σy = |
3,19362 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b= |
0,81561 |
|
a= |
-0,1952 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
у = -0,1952 + 0,81561х |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Основные формулы:
σх
= 
=
=
3,55706
σу
= 
=
=
3,19362
b = 
=
=
0.8156
a = 
-
b
= 4.62857 -
0.8156*5.91429 = - 0.1952
у = -0,1952 + 0,81561х
Значение коэффициента регрессии b показывает, что увеличение числа работников (х) на 100 человек приводит к росту валовой продукции (у) в среднем 0,81561 млн. руб.
Для характеристики изменчивости результативного
признака часто используют относительную скорость изменения, называемой темпом
изменения Т (логарифмической производной) или безразмерный показатель -
эластичность или среднюю эластичность, которая характеризует изменчивость
результативного признака в % при вариации на 1% от среднего уровня:
Т = 
=
(lny)’; Э
= 
’
;
=
(
Для линейной модели:
=
(a + bx)’
Þ Э = 
Þ
=
b 
В нашем случае:
Э = 
= 
=
1,042%
Таким образом, при увеличении числа работников
на 1% от среднего уровня валовая продукция увеличится на 1,042%.
Контроль в программе Advenced Grapher 8.0
Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x
Стандартное отклонение: 1,442057;
R2 = 0.8252358
Б. Степенная модель
Перед построением степенной модели y
= axb произведем
линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lg y = lg a + b*lg x = C + bX
где У
= lg y X = lg x C = lg a
|
Вспомогательные расчеты для степенной регрессионной модели |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
№ п/п |
Х |
У |
Х^2 |
Y^2 |
XY |
У* |
(У-У*) |
(У-У*)^2 |
A |
|||||
|
1 |
1,10721 |
0,95904 |
1,22591 |
0,91976 |
1,06186 |
1,1001 |
-0,141063042 |
0,01989878 |
14,7088 |
|||||
|
2 |
0,68124 |
0,43136 |
0,46409 |
0,18607 |
0,29386 |
0,50482 |
-0,073453831 |
0,00539547 |
17,0283 |
|||||
|
3 |
0,95424 |
0,88081 |
0,91058 |
0,77583 |
0,84051 |
0,88633 |
-0,00552042 |
3,0475E-05 |
0,62674 |
|||||
|
4 |
0,79239 |
0,89763 |
0,62788 |
0,80573 |
0,71127 |
0,66015 |
0,237477904 |
0,05639575 |
26,4562 |
|||||
|
5 |
0,23045 |
-0,2218 |
0,05311 |
0,04922 |
-0,0511 |
-0,1252 |
-0,096688807 |
0,00934873 |
43,5832 |
|||||
|
6 |
0,47712 |
0,23045 |
0,22764 |
0,05311 |
0,10995 |
0,21956 |
0,010886863 |
0,00011852 |
4,7242 |
|||||
|
7 |
0,59106 |
0,44716 |
0,34936 |
0,19995 |
0,2643 |
0,3788 |
0,068361332 |
0,00467327 |
15,288 |
|||||
|
Итого |
4,83372 |
3,6246 |
3,85858 |
2,98968 |
3,23063 |
3,6246 |
4,996E-16 |
0,095860998 |
122,415 |
|||||
|
Среднее |
0,69053 |
0,55123 |
0,49828 |
0,46152 |
0,5178 |
7,13715E-17 |
|
17,4879 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение степенной регрессии |
|
|
|
|
||||||||||
|
σx= |
0,27275 |
|
σy= |
0,47975 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b= |
1,39749 |
|
C = |
-0,4472 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Лианеризованное уравнение |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Y = -0,4472 + 1,39749X |
|
|
|
|
|
||||||||
Выполняем потенцирование линеаризованного
уравнения и получаем искомую степенную модель:
у = 10-0,4472 * х1,3975 =
0,3571х1,3975
эластичность:
Э = (а
=
=
b = 1,39749 % 
Эластичность степенной модели постоянна и
совпадает с коэффициентом регрессии b.В
нашем случае увеличение числа работников на 1% приводит к увеличению валовой
продукции на 1,4%.
В. Показательная модель.
Построение уравнения показательной кривой у = a
предшествует
процедурв линеаризации путем логарифмирования обеих частей уравнения
lg y = lg a + x*lg b = C + Bx
где Y = lg y B
= lg b C = lg a
Составляем таблицу в Excel:
|
Вспомогательные вычисления для показательной регрессионной модели |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
х |
У |
x^2 |
Y^2 |
xY |
У* |
(У-У*) |
(У-У*)^2 |
A |
|
1 |
12,8 |
0,95904 |
163,84 |
0,91976 |
12,2757 |
1,17552 |
-0,216482034 |
0,046864471 |
22,5728 |
|
2 |
4,8 |
0,43136 |
23,04 |
0,18607 |
2,07055 |
0,41136 |
0,019999664 |
0,000399987 |
4,63638 |
|
3 |
9 |
0,88081 |
81 |
0,77583 |
7,92732 |
0,81255 |
0,068265846 |
0,004660226 |
7,75032 |
|
4 |
6,2 |
0,89763 |
38,44 |
0,80573 |
5,56529 |
0,54509 |
0,352535109 |
0,124281003 |
39,2741 |
|
5 |
1,7 |
-0,2218 |
2,89 |
0,04922 |
-0,3771 |
0,11525 |
-0,337101111 |
0,113637159 |
151,951 |
|
6 |
3 |
0,23045 |
9 |
0,05311 |
0,69135 |
0,23943 |
-0,00897933 |
8,06284E-05 |
3,89645 |
|
7 |
3,9 |
0,44716 |
15,21 |
0,19995 |
1,74392 |
0,3254 |
0,121761856 |
0,014825949 |
27,2302 |
|
Итого |
41,4 |
3,6246 |
333,42 |
2,98968 |
29,897 |
3,6246 |
6,93889E-16 |
0,30475 |
257,311 |
|
Среднее |
5,91429 |
0,5178 |
47,6314 |
0,4271 |
4,271 |
0,5178 |
9,91271E-17 |
|
36,7587 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение показательной регрессии |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx = |
3,557057 |
|
σy = |
0,479752 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
0,09552 |
|
A = |
-0,04713 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = -0,04713 + 0,09552*x |
|
|
|
|
|||||
Произведем потенцирование полученного уравнения
у = 10-0,04713 100,09552х
= 0,897*1,246х
Эластичность:
Э = (а
=
=
x
b
Þ
Þ 
=
=
1.3 %.
Г. Гиперболическая модель.
Уравнение равносторонней гиперболы: у = а + b*
преобразуем заменой z = к
виду: у = а + b*z
Составляем таблицу в
Excel:
|
Вспомогательные расчеты для гиперболичкой регрессионной модели |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
z |
y |
z^2 |
y^2 |
zy |
y* |
(y - y*) |
( y - y*)^2 |
A |
|
1 |
0,07813 |
9,1 |
0,0061 |
82,81 |
0,71094 |
7,4739 |
1,626104738 |
2,64421662 |
17,8693 |
|
2 |
0,20833 |
2,7 |
0,0434 |
7,29 |
0,5625 |
5,29451 |
-2,594505902 |
6,731460877 |
96,0928 |
|
3 |
0,11111 |
7,6 |
0,01235 |
57,76 |
0,84444 |
6,92178 |
0,678216709 |
0,459977905 |
8,9239 |
|
4 |
0,16129 |
7,9 |
0,02601 |
62,41 |
1,27419 |
6,0819 |
1,818101813 |
3,305494202 |
23,0139 |
|
5 |
0,58824 |
0,6 |
0,34602 |
0,36 |
0,35294 |
-1,0642 |
1,664183052 |
2,76950523 |
277,364 |
|
6 |
0,33333 |
1,7 |
0,11111 |
2,89 |
0,56667 |
3,20229 |
-1,502292117 |
2,256881606 |
88,3701 |
|
7 |
0,25641 |
2,8 |
0,06575 |
7,84 |
0,71795 |
4,48981 |
-1,689808293 |
2,855452066 |
60,3503 |
|
Итого: |
1,73684 |
32,4 |
0,61074 |
221,36 |
5,02963 |
32,4 |
1,08802E-14 |
21,023 |
571,984 |
|
Среднее: |
0,24812 |
4,62857 |
0,08725 |
31,6229 |
0,71852 |
4,62857 |
1,55431E-15 |
|
81,712 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение гиперболической регрессии |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σz = |
0,16027 |
|
σy = |
3,19362 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
-16,738 |
|
a = |
8,78153 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 8,7815 - 16,7377(z) |
|
|
|
|
|||||